信息学集训 | 14 贪心算法理论与实战

导读

信息学能够有助于孩子未来工作发展，提升孩子的综合能力。

这一节课我们开始学习贪心算法，了解贪心算法的思想，并通过一些题目来熟练掌握贪心算法。

1 看个例子

首先我们先来看一个例子。

我们有如下几个数字：

12， 63， 56， 78， 9， 10， 15

我们从这几个数字中，选择4个，使得选出的数的和是最大的。应该怎么选呢？

选四个数，每次都要选择最大的，第一次我们选78，第二次63，第三次56， 第四次15。

在选择的时候，我们每次都很“贪心”，每次都选最大的。这个过程的思想，就是贪心算法。

贪心算法的意思就是说，每次，我们都要选择最好的。

2 贪心算法理论

让我们先来看一下贪心算法的理论吧！

1 贪心介绍

首先我们来了解一下贪心算法。

1、贪心算法的定义

贪心算法（又称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。

2、贪心算法的特点

贪心算法不从整体最优上加以考虑，只考虑当前的情况下最优解。算法得到的是在某种意义上的局部最优解。

此外贪心算法只是思想，即满足将情况分顺序，在每次操作能获取当前最优解（局部最优解），全局解为所有局部最优解的和。即可称之为贪心算法。

特别要说明：

1、有些情况下贪心算法也能得到全局最优解（比如我们的例子）。当我们能明确知道贪心算法就能取得最优解时，我们就可以选择贪心算法，因为贪心算法简单易用。

2、竞赛中，如果贪心算法不能保证所有数据得到最优解，但是能让其中某些数据得到最优解，而我们又难以找到更合适的算法时，可以使用贪心算法尽可能多的去获得分数。

2 贪心思路

贪心算法一般按如下步骤进行：

建立数学模型来描述问题；
把求解的问题分成若干个子问题；
对每个子问题求该问题下的最优解；
将所有子问题的最优解合并。

3 贪心分析

首先我们来分析一下贪心算法。

1、贪心算法的优缺点

贪心算法的优点就是思路简单，使用较为容易。但是简单就导致其适用的场景一般比较少。其主要缺点如下：

1、不能保证算法是全局最优的。所以也很难适用于一些求最值或者求最优解的问题。

2、对于一些有上界约束性问题不适用，例如背包问题。

2、贪心算法的适用条件

利用贪心法求解的问题应满足如下两个条件。

贪心选择性质
最优子结构性质

对于贪心选择性质，即一个问题的整体最优解可通过一系列局部的最优解的选择达到，并且每次的选择可以依赖以前作出的选择，但不依赖于后面要作出的选择。这就是贪心选择性质。对于一个具体问题，要确定它是否具有贪心选择性质，必须证明每一步所作的贪心选择最终导致问题的整体最优解。

对于最优子结构性质，当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用贪心法求解的关键所在。

3 贪心算法经典例题

接下来我们通过几道题目来看下贪心算法吧！

1 拿钱

一个钱包有100元，50元，20元，10元，5元，2元，1元各一张，只能拿五次，每次只能拿一张，问最多能拿多少钱？

这个题目非常简单，最简单的做法就是直接输出前五个的和：

#include<iostream>
using namespace std;

int main(){
  
  cout<<185<<endl;
  
  return 0;
}

开个玩笑开个玩笑，下面我们正式走进这道题目的题解。

首先说明一下，在竞赛中，这种做法是可以的，这种方法经常用来“骗分”。这道题目，思想是贪心的思想，我们一共拿五次，每次拿一张，想要总的最多，那每次就要拿最多的那个。

我们通过循环，每次判断求当前次的最大值，取到之后，就要把当前最大值加到总数上去，然后去掉最大值。

去掉最大值的方法有很多，例如我们直接将最大值设为0；或者每次将最大值放到最前面，下一轮遍历的时候，就从下一个位置开始判断，跳过当前轮的最大值；或者将数组最后一个位置数据存到最大值位置，然后数据长度-1；或者我们直接排序，计算前五个数的和。我们以第二种做法为例。

#include<iostream>
using namespace std;

int main(){
  //为了更好地凸显贪心思想，我们让数组无序 
  int a[10] = {100, 5, 20, 1, 50, 10, 2};
  int sum = 0,t=0,l;
  for(int i = 0;i<5;i++){
    for(int j = i;j<7;j++){
      if(a[j]>t) {
        t = a[j];
        l = j;
      }
    }
    sum += t;
    a[l] = a[i];
    a[i] = t;
    t = 0;
  }
  cout<<sum<<endl;
  return 0;
}

2 拿宝藏

经验丰富的探险家到了沙漠，看到一片宝藏。他通过记录得知宝藏重量及其价值如下：

现在他的背包能够装下重量为35的宝藏，每种宝藏可以只拿走其中一部分。问探险家最多能够拿走价值多少的宝藏？

这道题目我们想要价值最高，每次都拿价值最高的即可，剩下最后的可以拿一部分。我们要先计算重量为1时每种宝藏的价格。然后对此从大到小排序，然后拿够重量为35的宝藏即可。

代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

struct BZ{
  int w,p,x;
}b[5];

bool cmp(BZ b1, BZ b2){
  return b1.x>b2.x;
}

int main(){
  int sum = 0,bg = 35;
  
  for(int i=0;i<5;i++){
    cin>>b[i].w>>b[i].p;
    b[i].x = b[i].w/b[i].p;
  }
  
  sort(b,b+5,cmp);
    
  for(int i = 0;i<5;i++){
    if(bg>=b[i].w){
      sum += b[i].p;
      bg -= b[i].w;
    }
    else{
      sum += b[i].x*bg;
      break;
    }
  }
  cout<<sum<<endl;
  return 0;
}

3 排队办理业务

组长带小组成员去办理业务，办理完的组员可以回去继续工作，组长预计每个成员办理业务花费的时间如下：

组长希望组员能够尽快回去工作，即在这里排队等待的时间最短。问最短时间是多少？

我们先不考虑时间最短，我们先考虑总的排队时间怎么计算。当第一个人办理业务的时候，后面4个人都要等待，一共需要等待4*t1，第二个人办理业务的时候，后面三个人都要等待，一共需要3*t2。全部的加起来就是4*t1 + 3*t2 + 2*t3 + t4。然后我们考虑怎么样等待时间最少，等待时间最少就是让和最小。和最小，那么t1到t4就要依次增大，所以我们安排贪心策略，就是让办理时间少的用户先办理，这样，总的等待的时间是最少的。

代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

int main(){
  int a[5],sum = 0;
  
  for(int i=0;i<5;i++){
    cin>>a[i];
  }
  
  sort(a,a+5);
    
  for(int i = 0;i<4;i++){
    sum += a[i]*(4-i);
  }
  cout<<sum<<endl;
  return 0;
}

6 作业

本节课的作业，就是复习上面的所有知识，并完成下面的题目！

1 [NOIP2018 提高组 A] 铺设道路

春春是一名道路工程师，负责铺设一条长度为n的道路。整段道路可以看作是n块首尾相连的区域，一开始，第i块区域下陷的深度为 

春春每天可以选择一段连续区间[L,R]，填充这段区间中的每块区域，让其下陷深度减少1。在选择区间时，需要保证，区间内的每块区域在填充前下陷深度均不为0。春春希望你能帮他设计一种方案，可以在最短的时间内将整段道路的下陷深度都变为0。

【输入说明】
输入包含两行：
第一行包含一个整数n，表示道路的长度。
第二行包含n个整数，相邻两数间用一个空格隔开，第i个整数为di：
【输出说明】
输出文件仅包含一个整数，即最少需要多少天才能完成任务。


【输入示例】
6
4 3 2 5 3 5
【输出示例】
9

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