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线性代数笔记第一天


行列式:

   排列:由自然数组成的有序数组;

   逆序:前后位置与大小顺序相反,即: 

线性代数笔记第一天_对称矩阵

   ,记作: 

线性代数笔记第一天_对称矩阵_02

;     排列中,逆序的总数称为逆序数

   奇偶排列: 若排列的逆序数 为奇, 则为 奇排列;   偶排列同理可得;

   行列式: 

线性代数笔记第一天_逆序数_03

, 其中第一个下标指行,第二个下标指 列;

   n阶行列式:列标的逆序数为偶时,系数为正;  列标的逆序数为 奇 时,系数为负;

   三阶行列式的算法:

         每一项均由  取自 不同行, 不同列 的三个元素的 乘积 构成项数 为 n 的 阶乘;

   n阶行列式的算法

          

线性代数笔记第一天_对称矩阵_04

线性代数笔记第一天_对称矩阵_05

     上三角行列式: 其值 等于 其主对角线 上 各元素 的乘积;

                    若主对角线 为:  "  / " , 则 

线性代数笔记第一天_逆矩阵_06

转置行列式:

       定义: 将行列式  的 行  转化为 相应列,记为:线性代数笔记第一天_逆序数_07;

       性质

            1. 行列式  与 它的转置 行列式 相等;(数值);

变号;

                      推论: 托行列式两行(列) 完全相同,则 D =0;

公因子 可 提到行列式 符号的外面。 即  

线性代数笔记第一天_逆序数_08

                     推论:  D 中 行(列) 所有元素 为0  ,则 D =0;

                                  D 中 两行(列) 对应元素成比例,则 D =0;

两数之和,则可以分解,即:

                     

线性代数笔记第一天_逆矩阵_09

            5. 行列式 某一行(列) 的所有元素 都乘以 K, 再 加到 另一行(列)的相应元素上,行列式值不变,即:

                     

线性代数笔记第一天_对称矩阵_10

 

余子式与 代数余子式:

       余子式定义:  (n-1)阶行列式,称为: 线性代数笔记第一天_逆序数_11的余子式,记为: 

线性代数笔记第一天_对称矩阵_12

       代数余子式

               

线性代数笔记第一天_逆序数_13

       展开定理1

                n阶行列式 = 它的任一 行(列)各元素  与 其对应的 代数余子式的乘积 之和

        展开定理2

                n阶行列式 中 某一 元素  乘以 其它元素的代数余子式 之和 为零

        范德蒙行列式

                  

线性代数笔记第一天_逆序数_14

, 其表示: 所有可能

线性代数笔记第一天_逆矩阵_15

的乘积;

矩阵:

      定义:  由 m*n 个数 线性代数笔记第一天_逆序数_11 构成的 m 行 n 列 数列, 称为 m行n列 矩阵;   记为: 

线性代数笔记第一天_对称矩阵_17

  或者

线性代数笔记第一天_对称矩阵_18

      方阵:由 n^2  个数 排成 的 n*n 矩阵,称为 n阶方阵;  记为: 

线性代数笔记第一天_逆序数_19

 

      单位矩阵

              主对角线为1,其余全为0 的矩阵;

      零矩阵

               矩阵中所有元素都为0 的矩阵;

        注意: 矩阵式一个表,而不是数; 行列式 代表的是一个 数值;

        数量矩阵: 

                 n阶对角矩阵  所有主对角线 元素相等 的 矩阵;

        三角矩阵:  包括 上三角矩阵;  下三角矩阵;

        对称矩阵

                 矩阵中 所有元素 关于主对角线 对称 的矩阵;

        反对称矩阵

                  

线性代数笔记第一天_逆序数_20

叫做 反对称矩阵 (它们的主对角线元素 必须全为 零);

                   注意: 两个同阶  反对称矩阵  的乘积  不一定是反对称;

        n阶矩阵行列式:  

                    A 阶方证 构成的行列式, 即为 |A|;

                    若  A 为 n阶方阵,则 : |2A| = 2^n * |A|;

         行阶梯形矩阵

                  1.零行(元素全为 零的 行) 位于 矩阵下方;

                  2.  各非零行的 首个 非零元素, 从左  往 右, 下方全为零;

          行最简形矩阵

                   1. 各非零行 的首个 非零元素 都是 1;

                   2. 每个首  非零元素  所在 的列 其余元素 都 是 0;

           标准形矩阵

                    1.  矩阵左上角 是单位阵;

                    2.  其余元素都是0;

          矩阵化简次序: 梯形 -->   最简形 --->  标准形;

          奇异矩阵(退化矩阵):  |A| =0;

          非奇异矩阵(非退化矩阵):  |A| =/=0;

矩阵的运算:

      相等: 矩阵行 列 相等,且 元素 一毛一样;

      加法,减法,数乘,数乘和:  略;

      矩阵乘法

            前提: A 的行  与 B 的列相同;

            A*B 的行 = A 的行;

            A*B 的 列 = B 的列;

            A*B =/= B*A;

            两个非零 矩阵 的乘积 可能为 零矩阵;

           eg:         

线性代数笔记第一天_逆矩阵_21

    

       幂运算

            

线性代数笔记第一天_逆序数_22

        转置

              规则:  

线性代数笔记第一天_逆矩阵_23

 ;                           

线性代数笔记第一天_逆序数_24

;                            

线性代数笔记第一天_逆序数_25

                           

线性代数笔记第一天_对称矩阵_26

矩阵的初等变换:

     1.交换 矩阵的两行(列);

     2. 以一个非 零 数 k 乘以 矩阵的 某一行(列);

     3. 将矩阵 的 某一 行(列) 乘以k倍后 加到另一 行(列) 上;

逆矩阵:

        定义

               n 阶方阵 A , 如存在 n阶方阵 B , st :   AB = BA = E, 则 A 可逆, 方阵B 称为 A 的逆矩阵, 记为: 

线性代数笔记第一天_逆序数_27

;

             n阶方阵的逆矩阵 也为 n 阶 方阵, 且是 唯一的, 逆矩阵的逆  是其本身;

         求逆矩阵的方法

              1. 利用伴随矩阵线性代数笔记第一天_对称矩阵_28

                   

线性代数笔记第一天_逆矩阵_29

,  

线性代数笔记第一天_逆矩阵_30

              2.利用初等变换

                     

线性代数笔记第一天_对称矩阵_31

  = ===    

线性代数笔记第一天_对称矩阵_32

           性质

               若A 可逆, 则 线性代数笔记第一天_逆序数_33 也可逆, 且 

线性代数笔记第一天_逆矩阵_34

               若A,B 均可逆 , 则有:

线性代数笔记第一天_逆序数_35

    (注意:

线性代数笔记第一天_逆序数_36

)               若 |A| =/= 0 , 规定: 

线性代数笔记第一天_逆矩阵_37

,               

线性代数笔记第一天_对称矩阵_38

                

线性代数笔记第一天_逆矩阵_39

               

线性代数笔记第一天_对称矩阵_40

,λ,μ 为正整数;

           应用

               A*x = B, 则 x = 

线性代数笔记第一天_对称矩阵_41

*B;               x*A = B , 则 x = B* 

线性代数笔记第一天_逆矩阵_42

;               A*x * B = C , 则 x = 

线性代数笔记第一天_逆矩阵_42

*C*

线性代数笔记第一天_对称矩阵_44

;               A+Ax = Bx,  则 x = 

线性代数笔记第一天_逆矩阵_45

;               A+2x = Bx , 则 x = 

线性代数笔记第一天_逆序数_46

;

         eg:  设方阵  A^2 -A -2E = 0 , 证明: A, A+2E 可逆;  且求出它们的逆矩阵;

             思路: A(A-E) =2E   1/2 *A* (A-E) =E,    A^ -1 = (A-E)/2

 2019.4.7 补充

矩阵间乘法的性质:

线性代数笔记第一天_逆矩阵_47

线性代数笔记第一天_对称矩阵_48

线性代数笔记第一天_逆序数_49

线性代数笔记第一天_逆序数_50

运算规则:

      

线性代数笔记第一天_逆序数_51

线性代数笔记第一天_逆序数_52

线性代数笔记第一天_对称矩阵_53

伴随矩阵的行列式值与矩阵的关系:

   

线性代数笔记第一天_对称矩阵_54

线性代数笔记第一天_逆矩阵_55

2019.4.8补充:

方阵与行列式的运算法则联系:

     

线性代数笔记第一天_对称矩阵_56

     

线性代数笔记第一天_逆序数_57

      

线性代数笔记第一天_对称矩阵_58

矩阵可逆的性质补充:

线性代数笔记第一天_逆矩阵_59

线性代数笔记第一天_对称矩阵_60

矩阵可逆的判别补充:

线性代数笔记第一天_逆矩阵_61

线性代数笔记第一天_逆序数_62

线性代数笔记第一天_逆矩阵_63

2019.4.14 补充:

主对角线为0,其余为x的行列式:

线性代数笔记第一天_对称矩阵_64

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