【知识总结】分块和值域分块

分块思想

分块思想是对原数据适当的划分，并且在划分后的每一个块上预处理部分信息，从而优化算法。
大体思路就是：

• 对于给出的序列按照固定的块长进行分块，预处理出每个块中询问的信息
• 在询问时，答案可以分为三部分：中间完整的块，左端点所在不完整的块，右端点所在不完整的块。对于第一种，通过上一步预处理的信息直接获得答案。对于第二种和第三种，暴力遍历一遍区间求得答案。
• 假设块长为，那么询问时，第一种的时间复杂度为或，后两种的时间复杂度为。整体时间复杂度为
  很经典的​​​数列分块入门题​​

值域分块思想

• 当序列的数都时一般都可以用值域分块
• 用来统计区间里有多少个数的值在固定区间里
• 一般和莫队结合使用

题目解析

luoguP4867 Gty的二逼妹子序列

​​点击跳转​​

• 对于区间问题不难想到离线算法的莫队，但是莫队没有办法维护权值的范围，考虑再套一种数据结构。
• 由于并且没有修改操作，进行值域分块，注意一些计算贡献的小细节，时间复杂度

luoguP4396 [AHOI2013]作业

​​点击跳转​​

• 跟上题一样，再多开一个数组维护数的个数就好了

LOJ6285.数列分块入门 9

​​点击跳转​​

• 一个很经典的题，求众数离线可以莫队，在线可以分块；
• 按照一般的思路去想，分块后的答案来源
• 左端点所在块的众数，右端点所在块的众数，到的块的众数
• 对于每一种可能，我们都统计出现的次数，最后更新答案就好；
• 可以用一个存储每个数出现的下标，计算每个数在某个区间的出现次数就可以二分找。
• 由于的范围过大，需要离散化。要注意离散化后统计答案的过程，有一些细节；
• 那么前两种可能性我们都可以直接枚举每个数出现的次数，第三种呢，枚举显然不现实；
• 预处理出表示第块到第块的众数，时间复杂度

牛客 仓鼠与珂朵莉

​​点击跳转​​

• 跟上题区别不大，多乘一个价值就好了
• 注意强制在线的处理

CF455D Serega and Fun

​​点击跳转​​

• 考虑操作对操作的影响，分块后每次移动的时候，只有首项跟尾项元素会对答案产生影响。对每个块多加个deque维护一下。
• 由于，对每个数都记录一下出现的次数，还要维护表示第块里出现的次数；
• 更新的时候，注意处理整块与非整块的关系

牛客 小 Q 与彼岸花

​​​题解​​​​​题解​​

• 对于最大异或值一般的解法都是放到字典树上去跑，这题也不例外。但是对于个询问来说，每次都对于重新建立字典树显然时间和空间都不允许，所以这时候就可以用​​​可持久化字典树​​​来查询的字典树啦
• 这样的话时间也还不是很够，考虑再怎么进行优化。可以进行分块操作，因为整块区间的值都是固定的，设表示第块到第块之间的任取两个数的最大异或值，这个显然可以预处理出来。借鉴​​​分块求区间众数​​​的预处理思想,时间复杂度为
• 对于查询，考虑答案的构成：中间整块的最大异或值，左端点所在非完整块的最大异或值，右端点所在非完整块的最大异或值；第一种就是预处理的数组的值，后两种可以枚举每一个数，贪心的在的字典树上查找最大异或值，时间复杂度为
  ​​​强化版​​

一些有用的链接

Codeforces 455D 学长​​题解​​​ 仓鼠与珂朵莉 学长​​题解​​ 分块入门 渊佬​​题解​​ 分块入门 涛巨​​题解​​

待补的题

~