UVA 10791 Minimum Sum LCM（算术基本定理）

题意：给定一个n，就会产生几组数，每一组数的最小公倍数就是n，求这几组数中和最小的。

分析：根据算术基本定理，任何一个大于1的数都可以分解成几个素数的次幂相乘的形式。求几个数的和的最小，就要让每个数都是单独的素数次幂，因为他们的最小公倍数是几个数的标准分解式中每个素数的最高次幂组成的。

问题：一开始直接分解因数从2到n，但是T了。后来看题解，分解因数从2到sqrt(n)，在最后加上tn。因为如果一个数的素因子大于这个数的平方根，那么这个数除以这个素因子得到的另一个因子一定小于他的平方根，所以只到平方根就可以了。

超时代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
ll n;
int cas=0;

int main(){
  while (scanf("%lld", &n)!=EOF && n){
    ll ans=0, tn=n;
    int flag=0;
    for (ll i=2; i<=n; i++){
      ll t=0;
      if (tn%i==0){
        flag++;
        t=1;
        while (tn%i==0){
          t=t*i;
          tn/=i;
        }
        ans+=t;
      }
    }
    if (flag==0)  //素数 
      ans=n+1;
    else if (flag==1)  
      ans += 1;
    printf("Case %d: %lld\n", ++cas, ans);
  }
  return 0;
}

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
ll n;
int cas=0;

int main(){
  while (scanf("%lld", &n)!=EOF && n){
    ll ans=0, tn=n;
    ll x=sqrt(n);
    int flag=0;
    for (ll i=2; i<=x; i++){
      ll t=0;
      if (tn%i==0){
        flag++;
        t=1;
        while (tn%i==0){
          t=t*i;
          tn/=i;
        }
        ans+=t;
      }
    }
    if (flag==0)  //素数 
      ans=n+1;
    //只有一个素数的次幂 || 还有因子(i到sqrt(n)节省时间,但是可能还有素数因子没算在内)
    else if (flag==1 || tn!=1)  
      ans += tn;
    printf("Case %d: %lld\n", ++cas, ans);
  }
  return 0;
}