CSP-S 模拟19/10/30

T1：给定两个长度为 的序列 你需要选择一个区间
，使得 且 。最大化你选择的区间长度
解：枚举右端点，查最小的左端点
需要
就是一个三维偏序，树套树
发现枚举的 这一维没有用，因为如果查到了一个 的 是不会影响的
于是按 排序， 树状数组即可

#include<bits/stdc++.h>
#define cs const
using namespace std;
cs int N = 1e6 + 5;
int read(){
  int cnt = 0, f = 1; char ch = 0;
  while(!isdigit(ch)){ ch = getchar(); if(ch == '-') f = -1; }
  while(isdigit(ch)) cnt = cnt*10 + (ch-'0'), ch = getchar();
  return cnt * f;
}
typedef long long ll;
int n;
struct node{ ll a, b; int id; } x[N];
bool cmp(node A, node B){ return A.a < B.a; }
ll c[N]; int siz;
cs int inf = 1e9;
struct BIT{
  int c[N];
  BIT(){ memset(c, 0x3f, sizeof(c)); }
  void add(int x, int v){ for(;x<=siz;x+=x&-x) c[x] = min(c[x], v); }
  int ask(int x){ int ans = inf; for(;x;x-=x&-x) ans = min(ans, c[x]); return ans; }
}bit;
int main(){
  n = read(); x[0].a = x[0].b = 0; x[0].id = 0; c[++siz] = 0;
  for(int i = 1; i <= n; i++) x[i].a = x[i-1].a + (ll)read(), x[i].id = i;
  for(int i = 1; i <= n; i++) x[i].b = x[i-1].b + (ll)read(), c[++siz] = x[i].b;
  sort(x, x + n + 1, cmp);
  sort(c + 1, c + siz + 1); siz = unique(c + 1, c + siz + 1) - (c + 1);
  int ans = 0;
  for(int i = 0; i <= n; i++){
    int p = lower_bound(c + 1, c + siz + 1, x[i].b) - c;
    ans = max(ans, x[i].id - bit.ask(p));
    bit.add(p, x[i].id);
  } cout << ans; return 0;
}

T2：给出一个二叉树的中序遍历的权值，最小化 ，
考虑区间 ， 表示把 建成一颗二叉树的最小代价
枚举根 ，发现根的新增贡献为 ，两边的每个点的新增贡献为它们的权值，因为 增加 1
于是有
看数据范围盲猜决策单调性，其实不用盲猜，你 挪到 比较显然 根也会往右移
比较严谨的证明是首先 满足四边形不等式，所以可以证明 满足四边形不等式，由于 满足四边形不等式，具体可以参考 lyd 的书
所以 的决策点在 的中间，复杂度

#include<bits/stdc++.h>
#define cs const
using namespace std;
cs int N = 5e3 + 5;
int read(){
  int cnt = 0, f = 1; char ch = 0;
  while(!isdigit(ch)){ ch = getchar(); if(ch == '-') f = -1; }
  while(isdigit(ch)) cnt = cnt*10 + (ch-'0'), ch = getchar();
  return cnt * f;
}
typedef long long ll;
int n; ll sum[N], f[N][N];
int p[N][N]; // 决策点   
int main(){
  n = read();
  for(int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + (ll)read();
  for(int l = n; l >= 1; l--){
    for(int r = l; r <= n; r++){
      f[l][r] = sum[r] - sum[l - 1];
      if(l == r){ p[l][r] = l; continue; }
      ll ret = 1e15;
      for(int k = p[l][r-1]; k <= p[l+1][r]; k++){
        if(f[l][k - 1] + f[k + 1][r] < ret){
          p[l][r] = k; ret = f[l][k - 1] + f[k + 1][r];
        }
      } f[l][r] += ret;
    }
  } cout << f[1][n]; return 0;
}

T3：
给定一张 个点 条边的强连通有向图。
初始时你在 号点，你会不停地从当前点的所有出边中等概率随机一条走过
去。当你到达 k 号点的时候，你会栽跟头并且停止走路
对于 ，分别求出你期望要走多少条边

题挺好的，部分分很足，先来讲一讲
对于 的数据， ，暴力枚举终点高斯消元

对于另外 的数据，不存在 使得 且
这个点是一个菊花图，也就是说在高斯消元的矩阵上，第一行每一列都有值
第 列只有 1 和 有值，所以把 的每一行的 去把第一行的消掉，复杂度
加上枚举是 的

对于另外 的数据，前 条边满足
发现存在 行，假设它是第 行，那么第 列之前是没有值的
也就是说给出来的矩阵是一个比较完美的上三角矩阵， 消元即可

正解：发现对于一个终点 ，做法是把 一行忽略掉，也就是它不参与消元
所以对于 ， 都是参与了消元了的，分治即可
也可以这么理解，对于一个一行 ，它能去参与消元当且仅当 ，也就是说 可以参与 的消元，线段树分治即可，相对更好写

这里需要把高斯消元的板子变一下形，因为并不是从第一行开始消的：
对于第一个考虑的行 ，把它挪到第一行，消去其它行的第 列
这样是 的
也就是说我们按消除行的顺序输出消完的矩阵是一个上三角矩阵
不需要重排，记录一下第一行的实际值是什么即可
递归到底层的时候需要对上三角矩阵求解，是 的，每一个算一遍是
而一个值会在线段树上有 个区间，所以它会去消 次
然后有一个头疼的逆元，需要快速幂，复杂度
主要考察的是一类分治问题的套路与灵活运用高斯消元
等等，方程还没有列
由于递归完了要还原，每一次开一个 数组即可

#include<bits/stdc++.h>
#define cs const
using namespace std;
cs int N = 305, M = 1e5 + 5;
cs int Mod = 998244353;
int read(){
  int cnt = 0, f = 1; char ch = 0;
  while(!isdigit(ch)){ ch = getchar(); if(ch == '-') f = -1;}
  while(isdigit(ch)) cnt = cnt * 10 + (ch-'0'), ch = getchar();
  return cnt * f;
}
int add(int a, int b){ return a + b >= Mod ? a + b - Mod : a + b;}
int mul(int a, int b){ return 1ll * a * b % Mod; }
int ksm(int a, int b){ int ans = 1; for(;b;b>>=1,a=mul(a,a)) if(b&1) ans = mul(ans, a); return ans; }
int n, m, du[N];
int first[N], nxt[M], to[M], tot;
void adde(int x, int y){ nxt[++tot] = first[x], first[x] = tot, to[tot] = y; }
int a[N][N], tp[20][N][N], ans[N];
bool vis[N];
int top, idx[N]; bool Svis[20][N];
void Gauss(int i){ // 用第 i 行去消其它的   
  vis[i] = true;
  idx[++top] = i; 
  for(int j = 1; j <= n; j++){
    if(vis[j]) continue;
    int delta = mul(a[j][i], ksm(a[i][i], Mod-2));
    if(!delta) continue;
    for(int k = 1; k <= n+1; k++){
      a[j][k] = add(a[j][k], Mod - mul(delta, a[i][k]));
    }
  }
}
int b[N][N];
int calc(){
  for(int i = n; i >= 1; i--){
    if(!vis[idx[i]]) continue;
    for(int j = i + 1; j <= n; j++) {
      if(!vis[idx[j]]) continue;
      a[idx[i]][n + 1] = add(a[idx[i]][n + 1], Mod - mul(a[idx[i]][idx[j]], a[idx[j]][n + 1]));
    } a[idx[i]][n + 1] = mul(a[idx[i]][n + 1], ksm(a[idx[i]][idx[i]], Mod - 2));
  } 
  return a[idx[1]][n + 1];
}
#define mid ((l+r)>>1)
vector<int> v[N << 2];
void Push(int x, int l, int r, int L, int R, int p){
  if(L>R) return;
  if(L<=l && r<=R){ v[x].push_back(p); return; }
  if(L<=mid) Push(x<<1, l, mid, L, R, p);
  if(R>mid) Push(x<<1|1, mid+1, r, L, R, p);
}
void Solve(int dep, int x, int l, int r){
  memcpy(tp[dep], a, sizeof(a));
  memcpy(Svis[dep], vis, sizeof(vis));
  for(int i = 0; i < v[x].size(); i++){
    int p = v[x][i]; Gauss(p);
  }
  if(l == r){ if(l^1) ans[l] = calc(); }
  else{
    Solve(dep + 1, x << 1, l, mid);
    Solve(dep + 1, x << 1|1, mid+1, r);
  }
  memcpy(a, tp[dep], sizeof(tp[dep]));
  memcpy(vis, Svis[dep], sizeof(Svis[dep]));
  for(int i = 0; i < v[x].size(); i++) idx[top--] = 0;
}

int main(){
  n = read(), m = read();
  for(int i = 1; i <= m; i++){
    int x = read(), y = read(); 
    adde(x, y); ++du[x];
  }
  for(int i = 1; i <= n; i++){
    a[i][i] = 1;
    int inv = ksm(du[i], Mod - 2);
    for(int e = first[i]; e; e = nxt[e]){
      int t = to[e]; a[i][t] = add(a[i][t], Mod - inv);
    } a[i][n + 1] = 1;
  } 
  Push(1, 1, n, 1, n, 1);
  for(int i = 2; i <= n; i++) Push(1, 1, n, 1, i-1, i), Push(1, 1, n, i+1, n, i);
  Solve(0, 1, 1, n);
  for(int i = 2; i <= n; i++) cout << ans[i] << '\n';
  return 0;
}