数据结构——HuffmanTree-CFANZ编程社区

Huffman tree

基本术语
构造 Huffman tree

哈夫曼构造算法实现

哈夫曼树的应用

哈夫曼编码

Huffman tree

基本术语

路径和路径长度

路径：在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或子孙结点之间的通路。
结点的路径长度：从一个结点到另一个结点的路径上分支的数目。

结点的权及带权路径长度

结点的权:将树中结点赋予一个有着某种含义的数值。
结点的带权路径长度：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。

树的带权路径长度

树中所有叶子结点的带权路径长度之和。

赫夫曼树（ Huffman tree ）

带权路径长度达到最小的二叉树即为赫夫曼树。

在所有含 n 个叶子结点、并带相同权值的二叉树中，必存在一棵其带权路径长度取最小值的树，称为“最优二叉树”。

构造 Huffman tree

基本思想：使权大的结点靠近根

根据给定的 n 个权值 {w1, w2, …, wn}，构造 n 棵二叉树的集合F = {T1, T2, … , Tn}，其中每棵二叉树中均只含一个带权值为 wi 的根结点,其左、右子树为空树;
在 F 中选取其根结点的权值为最小的两棵二叉树，分别作为左、
右子树构造一棵新的二叉树，并置这棵新的二叉树根结点的权值为其左、右子树根结点的权值之和;
从F中删去这两棵树，同时加入
刚生成的新树;
重复上述两步，直至 F 中只含一棵树为止。

哈夫曼构造算法实现

一棵有 n 个叶子结点的Huffman树有 2n-1 个结点

采用顺序存储结构—一维结构数组
结点类型定义

typedef struct {
  ElemType elem;  // 结点值
  int weight;  // 权值
  int parent, lch, rch;
}HTNode, *HuffmanTree;

构造HuffmanTree

输入初始n个叶子结点：置HT[1…n]的weight值
进行以下n-1次合并，依次产生HT[i]，i=n+1…2n-1：

在HT[1…i-1]中选两个未被选过的weight最小的两个结点HT[s1]和HT[s2] (从parent = 0 的结点中选)
修改HT[s1]和HT[s2]的parent值： parent=i
置HT[i]：weight=HT[s1].weight + HT[s2].weight ,lch=s1, rch=s2

Status CreatHuffmanTree(HuffmanTree HT, int n){
  if (n <= 1)  // 结点数量不合法
    return ERROR;
  int m = 2 * n - 1;
  int i;
  int s1, s2;
  HT = new HTNode[m + 1];  // 0号单元未用，HT[m]表示根结点   
  for (i = 1;i <= m;++i) {
    HT[i].lch = 0;
    HT[i].rch = 0;
    HT[i].parent = 0;
  }
  for (i = 1;i <= n;++i)
    // 输入权值
    cin >> HT[i].weight;
  for (i = n + 1;i <= m;++i) {
    // 构造Huffman树
    Select(HT, i - 1, &s1, &s2);  // 在HT[k](1≤k≤i-1)中选择两个其双亲域为0, 且权值最小的结点, 并返回它们在HT中的序号s1和s2
    if (s1 != 0 && s2 != 0) {
      HT[s1].parent = i;
      HT[s2].parent = i;  //表示从F中删除s1,s2
      HT[i].lch = s1;
      HT[i].rch = s2;  //s1,s2分别作为i的左右孩子
      HT[i].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight;  //i 的权值为左右孩子权值之和
    }
  }
  return OK;
}

哈夫曼树的应用

哈夫曼编码

算法实现

Status CreatHuffmanCode(HuffmanTree HT, HuffmanCode& HC, int n) {
  if (n <= 1)
    return ERROR;
  int start, i;
  int f = 0, c;
  HC = new char* [n + 1];
  char* cd = new char[n];
  cd[n - 1] = '0';
  for (i = 1; i <= n; ++i) {
    while (f != 0) {
      // 从叶子结点开始向上回溯，直到根结点
      start = n - 1;
      c = i;
      f = HT[i].parent;
      if (HT[f].lch == c) cd[start] = '0';
      else cd[start] = '1';
      c = f;
      f = HT[f].parent;
    }
    HC[i] = new char[n - start];  // 编码数组
    strcpy(HC[i], &cd[start]);
  }
  delete cd;
  cd = NULL;
  return OK;
}