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线性时间选择

         线性时间选择问题:给定线性序集中n个元素和一个整数k,1≤k≤n,要求找出这n个元素中第k小的元素,(这里给定的线性集是无序的)。

       1、随机划分线性选择

       线性时间选择随机划分法可以模仿随机化快速排序算法设计。基本思想是对输入数组进行递归划分,与快速排序不同的是,它只对划分出的子数组之一进行递归处理。

程序如下:

//2-1 随机划分线性时间选择
//#include "stdafx.h"
#include
#include
using namespace std;

int a[] = {5,7,3,4,8,6,9,1,2};

template
void Swap(Type &x,Type &y);

inline int Random(int x, int y);

template
int Partition(Type a[],int p,int r);

template
int RandomizedPartition(Type a[],int p,int r);

template
Type RandomizedSelect(Type a[],int p,int r,int k);

int main()
{
for(int i=0; i<9; i++)
{
cout< }
cout< cout<}

template
void Swap(Type &x,Type &y)
{
Type temp = x;
x = y;
y = temp;
}

inline int Random(int x, int y)
{
srand((unsigned)time(0));
int ran_num = rand() % (y - x) + x;
return ran_num;
}

template
int Partition(Type a[],int p,int r)
{
int i = p,j = r + 1;
Type x = a[p];

while(true)
{
while(a[++i] while(a[--j]>x);
if(i>=j)
{
break;
}
Swap(a[i],a[j]);
}
a[p] = a[j];
a[j] = x;
return j;
}

template
int RandomizedPartition(Type a[],int p,int r)
{
int i = Random(p,r);
Swap(a[i],a[p]);
return Partition(a,p,r);
}

template
Type RandomizedSelect(Type a[],int p,int r,int k)
{
if(p == r)
{
return a[p];
}
int i = RandomizedPartition(a,p,r);
int j = i - p + 1;
if(k <= j)
{
return RandomizedSelect(a,p,i,k);
}
else
{
//由于已知道子数组a[p:i]中的元素均小于要找的第k小元素
//因此,要找的a[p:r]中第k小元素是a[i+1:r]中第k-j小元素。
return RandomizedSelect(a,i+1,r,k-j);
}
}

输出如下:

线性时间选择_中位数

 程序解释:利用随机函数产生划分基准,将数组a[p:r]划分成两个子数组a[p:i]和a[i+1:r],使a[p:i]中的每个元素都不大于a[i+1:r]中的每个元素。接着"j=i-p+1"计算a[p:i]中元素个数j.如果k<=j,则a[p:r]中第k小元素在子数组a[p:i]中,如果k>j,则第k小元素在子数组a[i+1:r]中。注意:由于已知道子数组a[p:i]中的元素均小于要找的第k小元素,因此,要找的a[p:r]中第k小元素是a[i+1:r]中第k-j小元素。

      在最坏的情况下,例如:总是找到最小元素时,总是在最大元素处划分,这是时间复杂度为O(n^2)。但平均时间复杂度与n呈线性关系,为O(n)(数学证明过程略过,可参考王云鹏论文《​​线性时间选择算法时间复杂度深入研究​​》)。

 

 2、利用中位数线性时间选择

      中位数:是指将数据按大小顺序排列起来,形成一个数列,居于数列中间位置的那个数据。

      算法思路:如果能在线性时间内找到一个划分基准使得按这个基准所划分出的2个子数组的长度都至少为原数组长度的ε倍(0<ε<1),那么就可以在最坏情况下用O(n)时间完成选择任务。例如,当ε=9/10,算法递归调用所产生的子数组的长度至少缩短1/10。所以,在最坏情况下,算法所需的计算时间T(n)满足递推式T(n)<=T(9n/10)+O(n)。由此可得T(n)=O(n)。

     实现步骤:

      (1)将所有的数n个以每5个划分为一组共线性时间选择_算法_02组,将不足5个的那组忽略,然后用任意一种排序算法,因为只对5个数进行排序,所以任取一种排序法就可以了。将每组中的元素排好序再分别取每组的中位数,得到线性时间选择_算法_02个中位数。

      (2)取这线性时间选择_算法_02个中位数的中位数,如果线性时间选择_算法_02是偶数,就找它的2个中位数中较大的一个作为划分基准。

      (3)将全部的数划分为两个部分,小于基准的在左边,大于等于基准的放右边。在这种情况下找出的基准x至少比线性时间选择_数组_06个元素大。因为在每一组中有2个元素小于本组的中位数,有线性时间选择_中位数_07个小于基准,中位数处于线性时间选择_数组_08,即线性时间选择_算法_02个中位数中又有线性时间选择_子数组_10个小于基准x。因此至少有线性时间选择_算法_11个元素小于基准x。同理基准x也至少比线性时间选择_数组_06个元素小。而当n≥75时线性时间选择_数组_06≥n/4所以按此基准划分所得的2个子数组的长度都至少缩短1/4。

      线性时间选择_中位数_14

当然有的教科书上也会这样:

线性时间选择_子数组_15

算法分析:

线性时间选择_中位数_16

 线性时间选择_子数组_17

 举个例子说明:将54个元素分为下列组,每组5个,要找第15个小的元素

线性时间选择_数组_18

 然后将每组进行排序,得到如下:蓝色是中位数数组

线性时间选择_算法_19 

 现在求中位数数组的中位数,为节省空间,将中位数数组移到前两列:

线性时间选择_子数组_20

 然后将前两列进行排序:

线性时间选择_子数组_21

 知道28是中位数后,然后进行快速排序划分

线性时间选择_中位数_22

 比较明显,下面框框是比28小的元素

线性时间选择_数组_23

 由于15<28,应该在框框元素内找到第15小的元素,如下

线性时间选择_中位数_24

 然后在上述元素中继续划分5组,进行排序,排序结果如下:

线性时间选择_数组_25

 然后选出中位数数组的中位数是15

线性时间选择_数组_26

 然后继续将所有元素快排,得到下面:

线性时间选择_子数组_27

 然后比15小的14个,我们要找第15小的元素,就是这个数15,两轮结束。

 注意:算法将每一组大小定为5,并取75作为是否作递归调用的分界点。当然除了5和75以外,还有其他选择。

       中位数线性时间选择程序清单如下:

//2-2 中位数线性时间选择
#include "stdafx.h"
#include
#include
using namespace std;

template
void Swap(Type &x,Type &y);

inline int Random(int x, int y);

template
void BubbleSort(Type a[],int p,int r);

template
int Partition(Type a[],int p,int r,Type x);

template
Type Select(Type a[],int p,int r,int k);

int main()
{
//初始化数组
int a[100];

//必须放在循环体外面
srand((unsigned)time(0));

for(int i=0; i<100; i++)
{
a[i] = Random(0,500);
cout<<"a["< }
cout<
cout<<"第83小元素是"<
//重新排序,对比结果
BubbleSort(a,0,99);

for(int i=0; i<100; i++)
{
cout<<"a["< }
cout<}

template
void Swap(Type &x,Type &y)
{
Type temp = x;
x = y;
y = temp;
}

inline int Random(int x, int y)
{
int ran_num = rand() % (y - x) + x;
return ran_num;
}

//冒泡排序
template
void BubbleSort(Type a[],int p,int r)
{
//记录一次遍历中是否有元素的交换
bool exchange;
for(int i=p; i<=r-1;i++)
{
exchange = false ;
for(int j=i+1; j<=r; j++)
{
if(a[j] {
Swap(a[j],a[j-1]);
exchange = true;
}
}
//如果这次遍历没有元素的交换,那么排序结束
if(false == exchange)
{
break ;
}
}
}

template
int Partition(Type a[],int p,int r,Type x)
{
int i = p-1,j = r + 1;

while(true)
{
while(a[++i] while(a[--j]>x);
if(i>=j)
{
break;
}
Swap(a[i],a[j]);
}
return j;
}


template
Type Select(Type a[],int p,int r,int k)
{
if(r-p<75)
{
BubbleSort(a,p,r);
return a[p+k-1];
}
//(r-p-4)/5相当于n-5
for(int i=0; i<=(r-p-4)/5; i++)
{
//将元素每5个分成一组,分别排序,并将该组中位数与a[p+i]交换位置
//使所有中位数都排列在数组最左侧,以便进一步查找中位数的中位数
BubbleSort(a,p+5*i,p+5*i+4);
Swap(a[p+5*i+2],a[p+i]);
}
//找中位数的中位数
Type x = Select(a,p,p+(r-p-4)/5,(r-p-4)/10);
int i = Partition(a,p,r,x);
int j = i-p+1;
if(k<=j)
{
return Select(a,p,i,k);
}
else
{
return Select(a,i+1,r,k-j);
}
}

运行结果:

线性时间选择_子数组_28

 

 参考:王晓东编注《算法设计与分析第二版》

       

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