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素数筛法(传统普通、朴素筛法、埃式筛法、欧拉筛法(线性筛))



素数筛法(普通、朴素筛法、埃式筛法、欧拉筛法)

  • ​​1.题目​​
  • ​​2.分析​​
  • ​​3.代码​​
  • ​​传统普通​​
  • ​​朴素筛法​​
  • ​​埃式筛法​​
  • ​​欧拉筛法(线性筛)​​
  • ​​4.总结​​
  • ​​5.更新日志​​

1.题目

​​题目链接​​

题目描述

**输入一个自然数N,按质数定义从小到大输出1~N(包含N)中所有的质数

**

输入描述:

输入一行,包含一个整数N

1 <= N <= 2000

输出描述:

输出一行,包含所有的质数,按照从小到大的顺序输出,以空格隔开。

示例1
输入
20
输出
2 3 5 7 11 13 17 19

2.分析

筛掉合数剩下的即为素数,下面用四种方法实现。

3.代码

传统普通

从2到n遍历,判断为素数则输出

#include <bits/stdc++.h>   //1.普通方法
using namespace std;
bool isprime(int x)
{
for(int i=2;i<=x/i;i++) //此处为了防止i*i溢出 故改为i<=x/i
if(x%i==0)
return 0;
return 1;
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
for(int i=2;i<=n;i++)
if(isprime(i))
cout<<i<<" ";
return 0;
}

朴素筛法

朴素筛法[不论质数和合数均去除i的2 3 4 …倍的数字]

#include <bits/stdc++.h>   //2.朴素筛法[不论质数和合数均去除i的2 3 4 ...倍的数字]
using namespace std;
int main()
{
int n;cin>>n;
bool * p=new bool [n+1]; //只用下标从1 2 ...n的
int * primes=new int [n];
int k=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
p[i]=0; //先初始化为0
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!p[i]) //未被筛掉(即为质数)
primes[k++]=i;
for(int j=i*2;j<=n;j+=i) //筛掉2 3 4 ...倍数的
p[j]=1;
}
for(int i=0;i<k;i++)
cout<<primes[i]<<" ";
delete []primes;
delete [] p;
return 0;
}

埃式筛法

埃式筛法(优化朴素筛法而来)[只去除质数的2 3 4…倍]

(改进的版本从ii开始 ,i(i+1)…)

#include <iostream>
using namespace std; //3.埃式筛法(优化朴素筛法而来)[只去除质数的2 3 4..倍]
int main() //
{
int n;
cin>>n;
bool * p=new bool [n+1]; //只取下标1 2 .. n的
int * primes=new int [n];
for(int i=1;i<=n;i++) //初始化
p[i]=0;
int k=0;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!p[i])
{
primes[k++]=i;
// for(int j=i*2;j<=n;j+=i) //去除质数的2 3 ... 倍
for(int j=i*i;j<=n;j+=i) //进一步优化
p[j]=1;
}
}
for(int i=0;i<k;i++)
cout<<primes[i]<<" ";
return 0;
}

欧拉筛法(线性筛)

欧拉筛法 [去除质数序列里的倍数]

#include <bits/stdc++.h> 
using namespace std; //4.欧拉筛法 [去除质数序列里的倍数]
int main()
{
int n; cin>>n;
bool * p=new bool [n+1]; //记录是否被筛掉
int * primes=new int [n];
int k=0;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!p[i])
primes[k++]=i;
for(int j=0;j<=k&&i*primes[j]<=n;j++) //将i乘以素数序列中的每一个数筛掉
{
p[i*primes[j]]=1;
if(i%primes[j]==0) //当i含有素数序列中的因子时,跳出
break;
}
}
for(int i=0;i<k;i++)
cout<<primes[i]<<" ";
return 0;
}

4.总结

传统普通:时间复杂度为O(√n)

朴素筛法:时间复杂度为O(nlogn
埃式筛法:时间复杂度为O(n
log(logn))

欧拉筛法:时间复杂度为O(n)

5.更新日志

2022.5.8 整理

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