信息学奥赛一本通 1323：【例6.5】活动选择 | 洛谷 P1803 凌乱的yyy / 线段覆盖

【题目链接】

ybt 1323：【例6.5】活动选择
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注意：ybt 1323数据个数最大为$10^3$， 洛谷P1803数据个数最大为$10^6$

【题目考点】

1. 贪心

2. 贪心选择性质的证明

要想证明贪心选择可以得到最优解，只需要证明最优解包含每一次的贪心选择。
使用数学归纳法：

1. 证明最优解包含第一次的贪心选择
2. 假设存在最优解包含前k次的贪心选择，证明该最优解包含第k+1次的贪心选择

【解题思路】

1. 贪心选择性质的证明：

贪心选择：每次选择不与已选择活动重叠的结束时间最早的活动

1. 证明：存在最优的活动选择方案包含第一次贪心选择：结束时间最早的活动g

2. 证明：在k次贪心选择后，存在最优的活动选择方案包含第k+1次的贪心选择：不与前面重叠的结束时间最早的活动g。

2. 具体做法

用结构体对象存储各个活动的开始和结束时间。按活动的结束时间对活动进行升序排序。顺序取各个活动，只要该活动与前一个选择的活动不重叠（即该活动的起始时间不早于已经选择的最后一个活动的结束时间），那么就选择该活动。统计活动数量。

【题解代码】

解法1：贪心

注意：ybt 1323中，数组长度N可以设为1005， 洛谷P1803数组长度N必须设为1000005

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1000005
int b[N], e[N];
struct Act
{
    int begin, end;
};
Act act[N];
bool cmp(Act a, Act b)
{
    return a.end < b.end;
}
int main()
{
    int n, actNum = 0, lastAct = 0;//lastAct:当前已经选择的活动中最后一个活动 
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        scanf("%d %d", &act[i].begin, &act[i].end);
    sort(act+1, act+1+n, cmp);//按照结束时间从小到大排序 
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        if(act[i].begin >= act[lastAct].end)//如果第i个活动在当前最后的活动后面开始 
        {
            actNum++;//选择第i活动 活动数量加1 
            lastAct = i;
        }
    }
    printf("%d", actNum);
    return 0;
}