例题

AcWing 1205. 买不到的数目

小明开了一家糖果店。

他别出心裁：把水果糖包成4颗一包和7颗一包的两种。

糖果不能拆包卖。

小朋友来买糖的时候，他就用这两种包装来组合。

当然有些糖果数目是无法组合出来的，比如要买 10 颗糖。

你可以用计算机测试一下，在这种包装情况下，最大不能买到的数量是17。

大于17的任何数字都可以用4和7组合出来。

本题的要求就是在已知两个包装的数量时，求最大不能组合出的数字。

输入格式
两个正整数 n,m，表示每种包装中糖的颗数。

输出格式
一个正整数，表示最大不能买到的糖数。

数据范围

2≤n,m≤1000，

保证数据一定有解。

输入样例：

4 7

输出样例：

17

思路 ：

• 引理 ：$\forall a,b$，如果$gcd(a,b)>1$，那么不存在不能凑出的最大数
• 结论 ：$a,b$均为 正整数且互质，那么由$ax+by,x\ge 0,y\ge 0$不能凑出的最大数为$ab-a-b$
• 证明$ab-a-b$无法被$ax+by,x\ge 0,y\ge 0$表示 ：反证法，假设$ab-a-b=ax+by$，那么$ab=a(x+1)+b(y+1)$，由于$a|ab,a|a(x+1)$，因此$a|b(y+1)$，由于a和b互质，因此，$a|y+1$，由于$y\ge 0$，因此$y+1\ge a$，因此$b(y+1)\ge ab$，同理，$a(x+1)\ge ab$，因此，$a(x+1)+b(y+1)\ge 2ab\ge ab$，矛盾。
• 证明$ab-a-b+d,d\ge 1$一定可以表示成$ax+by,x\ge 0,y\ge 0$的形式 ：…

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    int a, b; cin >> a >> b;
    cout << a * b - a - b;
}

AcWing 1211. 蚂蚁感冒

长 100 厘米的细长直杆子上有 n 只蚂蚁。

它们的头有的朝左，有的朝右。

每只蚂蚁都只能沿着杆子向前爬，速度是 1 厘米/秒。

当两只蚂蚁碰面时，它们会同时掉头往相反的方向爬行。

这些蚂蚁中，有 1 只蚂蚁感冒了。

并且在和其它蚂蚁碰面时，会把感冒传染给碰到的蚂蚁。

请你计算，当所有蚂蚁都爬离杆子时，有多少只蚂蚁患上了感冒。

输入格式
第一行输入一个整数 n, 表示蚂蚁的总数。

接着的一行是 n 个用空格分开的整数 Xi, Xi 的绝对值表示蚂蚁离开杆子左边端点的距离。

正值表示头朝右，负值表示头朝左，数据中不会出现 0 值，也不会出现两只蚂蚁占用同一位置。

其中，第一个数据代表的蚂蚁感冒了。

输出格式
输出1个整数，表示最后感冒蚂蚁的数目。

数据范围

1<n<50,
0<|Xi|<100

输入样例1：

3
5 -2 8

输出样例1：

1

输入样例2：

5
-10 8 -20 12 25

输出样例2：

3

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