动态规划的常见优化方式：滚动数组 & 一维优化

题目描述

这是 LeetCode 上的 978. 最长湍流子数组 。

Tag : 「序列 DP」

当 A 的子数组 A[i], A[i+1], ..., A[j] 满足下列条件时，我们称其为湍流子数组：

若 i <= k < j，当 k 为奇数时， A[k] > A[k+1]，且当 k 为偶数时，A[k] < A[k+1]；
或若 i <= k < j，当 k 为偶数时，A[k] > A[k+1] ，且当 k 为奇数时， A[k] < A[k+1]。

也就是说，如果比较符号在子数组中的每个相邻元素对之间翻转，则该子数组是湍流子数组。

返回 A 的最大湍流子数组的长度。

示例 1：

输入：[9,4,2,10,7,8,8,1,9]
输出：5
解释：(A[1] > A[2] < A[3] > A[4] < A[5])

示例 2：

输入：[4,8,12,16]
输出：2

示例 3：

输入：[100]
输出：1

提示：

1 <= A.length <= 40000
0 <= A[i] <=

基本分析思路

本题其实是要我们求最长一段呈 ↗ ↘ ↗ ↘ 或者 ↘ ↗ ↘ ↗ 形状的数组长度。

看一眼数据范围，有 40000，那么枚举起点和终点，然后对划分出来的子数组检查是否为「湍流子数组」的朴素解法就不能过了。

朴素解法的复杂度为，直接放弃朴素解法。

复杂度往下优化，其实就的 DP 解法了。

动态规划

至于 DP 如何分析，通过我们会先考虑一维 DP 能否求解，不行再考虑二维 DP ...

对于本题，由于每个位置而言，能否「接着」上一个位置形成「湍流」，取决于上一位置是由什么形状而来。

举个例子，对于样例 [3,4,2]，从 4 -> 2 已经确定是 ↘ 状态，那么对于 2 这个位置能否「接着」4 形成「湍流」，要求 4 必须是由 ↗ 而来。

因此我们还需要记录某一位是如何来的（↗ 还是 ↘），需要使二维 DP 来求解 ~

我们定义 f(i,j) 代表以位置 i 为结尾，而结尾状态为 j 的最长湍流子数组长度（0：上升状态 / 1:下降状态）

PS. 这里的状态定义我是猜的，这其实是个技巧。通常我们做 DP 题，都是先猜一个定义，然后看看这个定义是否能分析出状态转移方程帮助我们「不重不漏」的枚举所有的方案。一般我是直接根据答案来猜定义，这里是求最长子数组长度，所以我猜一个 f(i,j) 代表最长湍流子数组长度

那么 f[i][j] 该如何求解呢？

我们知道位置 i 是如何来是唯一确定的（取决于 arr[i] 和 arr[i - 1] 的大小关系），而只有三种可能性：

arr[i - 1] < arr[i]：该点是由上升而来，能够「接着」的条件是i - 1 是由下降而来。则有：f[i][0] = f[i - 1][1] + 1
arr[i - 1] > arr[i]：改点是由下降而来，能够「接着」的条件是i - 1 是由上升而来。则有：f[i][1] = f[i - 1][0] + 1
arr[i - 1] = arr[i]：不考虑，不符合「湍流」的定义

代码：

class Solution {
    public int maxTurbulenceSize(int[] arr) {
        int n = arr.length;
        int ans = 1;
        int[][] f = new int[n][2];
        for (int i = 0; i < 2; i++) f[0][i] = 1;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < 2; j++) f[i][j] = 1;
            if (arr[i - 1] < arr[i]) f[i][0] = f[i - 1][1] + 1;
            if (arr[i - 1] > arr[i]) f[i][1] = f[i - 1][0] + 1;
            for (int j = 0; j < 2; j++) ans = Math.max(ans, f[i][j]);
        }
        return ans;
    }
}

时间复杂度：
空间复杂度：

动态规划（空间优化：奇偶滚动）

我们发现对于 f[i][j] 状态的更新只依赖于 f[i - 1][j] 的状态。

因此我们可以使用「奇偶滚动」方式来将第一维从 n 优化到 2 。

修改的方式也十分机械，只需要改为「奇偶滚动」的维度直接修改成 2 ，然后该维度的所有访问方式增加 %2 即可：

class Solution {
    public int maxTurbulenceSize(int[] arr) {
        int n = arr.length;
        int ans = 1;
        int[][] f = new int[2][2];
        for (int i = 0; i < 2; i++) f[0][i] = 1;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < 2; j++) f[i % 2][j] = 1;
            if (arr[i - 1] < arr[i]) f[i % 2][0] = f[(i - 1) % 2][1] + 1;
            if (arr[i - 1] > arr[i]) f[i % 2][1] = f[(i - 1) % 2][0] + 1;
            for (int j = 0; j < 2; j++) ans = Math.max(ans, f[i % 2][j]);
        }
        return ans;
    }
}

时间复杂度：
空间复杂度：使用固定2 * 2 的数组空间。复杂度为

动态规划（空间优化：维度消除）

既然只需要记录上一行状态，能否直接将行的维度消除呢？

答案是可以的，当我们要转移第 i 行的时候，f 数组装的就已经是 i - 1 行的结果。

这也是著名「背包问题」的一维通用优手段。

但相比于「奇偶滚动」的空间优化，这种优化手段只是常数级别的优化（空间复杂度与「奇偶滚动」相同），而且优化通常涉及代码改动。

class Solution {
    public int maxTurbulenceSize(int[] arr) {
        int n = arr.length;
        int ans = 1;
        int[] f = new int[2];
        for (int i = 0; i < 2; i++) f[i] = 1;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            int dp0 = f[0], dp1 = f[1];
            if (arr[i - 1] < arr[i]) {
                f[0] = dp1 + 1;
            } else {
                f[0] = 1;
            }
            if (arr[i - 1] > arr[i]) {
                f[1] = dp0 + 1;
            } else {
                f[1] = 1;
            }
            for (int j = 0; j < 2; j++) ans = Math.max(ans, f[j]);
        }
        return ans;
    }
}