三十六篇：未来架构师之道：掌握现代信息系统典型架构-CFANZ编程社区

前言

本篇文章，我们将通过示例来逐步学习理解导数、求函数最小值、深度学习的本质、以及使用numpy和pytorch实操深度学习训练过程。

线性回归

线性回归内容回顾

在《【课程总结】Day5(下)：PCA降维、SVD分解、聚类算法和集成学习》中，我们已经了解到线性回归以及线性回归可以表示为：

$y=f(x)=x_1w_1 + x_2w_2 + ... + x_{13}w_{13} + b$

该公式也可以表示为内积相乘的方式，如下：

$y = f (x) = x @ w + b$

如果有多个样本的话，那么上面的公示可以进一步表示为：

$y = f (X) = X @ w + b$

线性回归方程的解析

在训练时，x和y是训练集中的特征和标签，看作是常量；w和b是待优化的参数值，看作是变量。
在推理时，w和b已经找到了比较合适的值固定下来，看作常量；此时x是待预测的样本的特征，是变量；
预测的本质：把x带入，求解y。

线性回归=求损失loss函数的最小值

训练过程

由上图可知，训练的大致过程是：

从训练集中取出一对x 和y
把x带入模型，求解预测结果y_pred
找到一种方法，度量y和y_pred的误差loss
由此推导：
- loss是y和y_pred的函数；
- y_pred是模型预测的结果，是w和b的函数；
- 所以简单来说，loss也是w和b的函数

训练的本质

由上图推导结果可知，训练的本质：求解loss什么时候是最小值。

如何求函数的最小值？

一个例子

$y = 2x^2$

上述这个示例中，求y最小值是比较简单的，从图形中可以看到x=0时，y=0为最小值。但是实际工程中，并不是所有的函数y=f(x)都能画出来，简单地找到最小值，此时就需要使用导数求最小值。

求解方法(理论方法)

通过回归导数求极值的方法，我们知道大致步骤如下：

第一步：求函数的导数
第二步：令导数等于零
第三步：解方程，求出疑似极值点
第四步：验证该点是否是极值点以及是什么极值点

求解的问题

上述的方法是有一定前提条件的，即：

第一步的求(偏)导数是可以求得的；
第三步(偏)导数为零后，方程(组)是可以解的。

实际工程中，上述方法是不可行的。以Llama3-8B模型为例，其有80亿个输入参数x，按照上述的求解方法是无法求得最小值的！

由此可知，通过推导公式期望一次性求得最小值是不现实的；而我们可以借鉴人工智能中一个重要的思想：迭代法来逐步求解最小值。

求解方法(迭代法)

仍然以 $y = 2x^2$ 为例，我们可以通过以下方法求得最小值。

随机选择一个出生点 $x_0$ ，

当 $x_0$ 在最小值的左侧时， $x_0$ + 正数(一个非常小的正数)向右侧移动；
当 $x_0$ 在最小值的右侧时， $x_0$ - 正数(一个非常小的正数)向左侧移动；
当 $x_0$ 在最小值的时候，不用移动，此时就是最小值。

由导数的单调性可知：

当 $x_0$ 在左侧时，由于函数是单调递减的，所以导数<0
当 $x_0$ 在右侧时，由于函数是单调递增的，所以导数>0

因此上述的计算方法可以推导得到：

当 $x_0$ 在0的左侧时， $x_0$ + 正数 → $x_0$ + 导数 → $x_0$ - 导数
当 $x_0$ 在0的右侧时， $x_0$ - 正数 → $x_0$ - 导数
当 $x_0$ =0时，也可以看作是 $x_0$ - 导数

由此，我们可以得到结论：不管$$x_0$$在何处，求最小值时减去导数即向极值逼近。

概念补充

在一元函数中，求函数f(x)在某一点的斜率为导数；在多元函数中，称为偏导数，也就是梯度。
减去导数也就是减去梯度，这就是梯度下降法！

代码实现(手动求函数最小值)

以 $y = 2x^2$ 为例

import numpy as np

def fn(x):
    """
    原始函数
    """
    return 2 * x ** 2

def dfn(x):
    """
    导函数
    """
    return 4 * x

def gradient_descent(x0, learning_rate, dfn, epochs):
    """
    使用梯度下降法求函数的最小值

    Parameters:
        x0 (float): 初始点的位置
        learning_rate (float): 学习率
        dfn (function): 导函数
        epochs (int): 迭代次数

    Returns:
        x_min (float): 最小值点的位置
    """
    for _ in range(epochs):
        x0 = x0 - learning_rate * dfn(x0)
    
    return x0

# 随机选择一个出生点
x0 = np.random.randint(low=-1000, high=1000, size=1)

# 迭代次数
epochs = 1000

# 学习率
learning_rate = 1e-2

# 使用梯度下降法求最小值
x_min = gradient_descent(x0, learning_rate, dfn, epochs)

# 输出最小值
print("最小值点的位置：", x_min)

运行结果：

以 $f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$ 为例

import numpy as np

def df_x(x, y, z):
    """
    f 对 x 求偏导
    """
    return 2 * x

def df_y(x, y, z):
    """
    f 对 y 求偏导
    """
    return 2 * y

def df_z(x, y, z):
    """
    f 对 z 求偏导
    """
    return 2 * z

# 随机选择出生点
x0 = np.random.randint(low=-1000, high=1000, size=(1,))
y0 = np.random.randint(low=-1000, high=1000, size=(1,))
z0 = np.random.randint(low=-1000, high=1000, size=(1,))

# 迭代次数
epochs = 1000

# 学习率
learning_rate = 1e-2

for _ in range(epochs):
    # 求解每个变量的偏导
    fx = df_x(x0, y0, z0)
    fy = df_y(x0, y0, z0)
    fz = df_z(x0, y0, z0)
    
    # 每个变量都减去自己的偏导
    x0 = x0 - learning_rate * fx
    y0 = y0 - learning_rate * fy
    z0 = z0 - learning_rate * fz

# 输出更新后的变量值
print("更新后的 x 值：", x0)
print("更新后的 y 值：", y0)
print("更新后的 z 值：", z0)

运行结果：

代码实现(使用pytorch求函数最小值)

上述通过求导数得到函数最小值的方法，也可以通过pytorch来实现，具体代码如下：

以 $y = 2x^2$ 为例

import torch

# 定义原始函数和导函数
def fn(x):
    return 2 * x ** 2

# 说明：pytorch可以通过grad函数求导，所以可以省去写导函数
# def dfn(x):
#     return 4 * x

# 随机选择出生点
# requires_grad=True用来告诉框架该变量是一个张量，需要计算梯度。
x0 = torch.randint(low=-1000, high=1001, size=(1,), 
                   dtype=torch.float32, 
                   requires_grad=True)

# 迭代次数
epochs = 1000

# 学习率
learning_rate = 1e-2

# 使用 PyTorch 进行梯度下降
for _ in range(epochs):
    # 正向传播计算损失
    loss = fn(x0)
    
    # 反向传播计算梯度
    loss.backward()
    
    # 获取梯度并更新参数
    with torch.no_grad():
        grad = x0.grad
        x0 -= learning_rate * grad
    
    # 梯度清零
    x0.grad.zero_()

# 输出最小值点的位置
print("最小值点的位置：", x0.item())

运行结果：

以 $f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2$ 为例

import torch

def fn(x, y, z):
    """
        函数定义
    """
    return x**2 + y**2 + z**2


# 说明：pytorch可以通过grad函数求导，所以可以省去写导函数
# def df_x(x, y, z):
#     return 2 * x

# def df_y(x, y, z):
#     return 2 * y

# def df_z(x, y, z):
#     return 2 * z

# 随机选择出生点
x0 = torch.randint(low=-1000, high=1001, size=(1,), 
                   dtype=torch.float32, 
                   requires_grad=True)
y0 = torch.randint(low=-1000, high=1001, size=(1,), 
                   dtype=torch.float32, 
                   requires_grad=True)
z0 = torch.randint(low=-1000, high=1001, size=(1,), 
                   dtype=torch.float32, 
                   requires_grad=True)

# 迭代次数
epochs = 1000

# 学习率
learning_rate = 1e-2

# 使用 PyTorch 进行梯度下降
for _ in range(epochs):
    # 正向传播计算损失
    loss = fn(x0, y0, z0)
    
    # 反向传播计算梯度
    loss.backward()
    
    # 获取梯度并更新参数
    # 在测试阶段或者不需要计算梯度的情况下使用 torch.no_grad()
    # 以提高计算效率并避免不必要的梯度计算。
    with torch.no_grad():
        x0 -= learning_rate * x0.grad
        y0 -= learning_rate * y0.grad
        z0 -= learning_rate * z0.grad
    
    # 梯度清零
    x0.grad.zero_()
    y0.grad.zero_()
    z0.grad.zero_()

# 输出更新后的变量值
print("更新后的 x 值：", x0.item())
print("更新后的 y 值：", y0.item())
print("更新后的 z 值：", z0.item())

运行结果：

内容小结

线性回归
- 在训练时，x和y是训练集中的特征和标签，看作是常量；w和b是待优化的参数值，看作是变量。
- 在推理时，w和b已经找到了比较合适的值固定下来，看作常量；此时x是待预测的样本的特征，是变量；
- 预测的本质：把x带入，求解y。
求损失loss函数
- 由训练的过程可知：损失函数loss也是w和b的函数
- 训练的本质：求损失loss函数的最小值
求函数最小值
- 理论的求解方法，在现实工程中由于参数巨大，实际不可行。
- 实际的求解方式是使用迭代思想逐步求解。
- 不管 $x_0$ 在何处，求最小值时减去导数即向极值逼近，所以我们可以通过迭代法+迭代中减去导数求最小值，这就是梯度下降法。
求导即可使用numpy方法，也可以使用pytorch
- 梯度下降法使用过程中，一般需要定义epochs迭代次数、learning_rate学习率
- 梯度下降法的一般过程为：正向传播计算损失→反向传播计算梯度→获取梯度并更新参数→梯度清零
- 在循环减去梯度的过程中，需要记得使用.grad.zero_()进行梯度清零