排列
从 n 个不同的元素中取出 m (1 <= M <= n) 个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，这个过程就作排列
全排列
当 m = n 这种特殊情况出现时候，比如说，在田忌赛马的故事中，田忌的三匹马必须全部出战，这就是全排列(All Permutation)
重复排列和不重复排列
如果选择出的这m个元素可以有重复的，这样的排列就是为了重复排列(Permutation with Repetition) ，否则就是不重复排列(Permutation without Repetition)
全排列时间复杂度分析
比如 1， 2， 3，这样3个数据，有下面几种排列
1, 2, 3
1, 3, 2
2, 1, 3
2, 3, 1
3, 1, 2
3, 2, 1
递归实现
// 交换
void swap (int &a, int &b) {
int temp;
temp = a;
a = b;
b = temp;
}
// 全排列递归算法
void Perm(int list[], int k, int m)
{
// list 数组存放排列的数，k表示层，代表第几个数，m表示数组的长度
if (k == m) {
// k == m 表示到达最后一个数，不能再交换，最终排列的数需要输出
for (int i = 0; i <= m; i++) {
cout << list[i] << " ";
}
cout << endl;
} else {
for (int i = k; i <= m; i++) {
swap(list[i], list[k]);
Perm(list, k + 1, m);
swap(list[i], list[k]);
}
}
}
int main (void) {
int a[] = {1, 2, 3, 4};
int m = 3;
Perm(a, 0, m);
}
时间复杂度
- 第一层分解有n次交换操作
- 第二层有n个节点，每个节点分解需要 n - 1次交换所以第二层总的交换次数是 n * (n - 1)
- 第三层有 n * (n - 1) 个节点，每个节点需要分解需要 n - 2次交换，所以第三层总的交换次数是 n * (n - 1) * (n - 2)
- 以此类推，第k层总的交换次数 n * (n - 1) * (n - 2) * … * (n - k + 1)。最后一次交换次数就是 n * (n - 1) * (n - 2) * … * 2 * 1。每一层交换次数之和就是总的交换次数
- 求和公式
- n + n * (n - 1) + n * (n - 1) * (n - 2) + … + n * (n - 1) * (n - 2) * … * 2 * 1
- 最后一个数 n * (n - 1) * (n - 2) * … * 2 * 1等于 n!.而前面的 n - 1个数都小于最后一个数，所以，总和肯定小于 n * n!
- 也就是说，全排列的递归算法的时间复杂度大于O(n!)，小于O(n * n!)
