2019江西省赛 Rng(数学概率题)

【题目】

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​Problem Description​

Avin is studying how to synthesize data. Given an integer n, he constructs an interval using the following method: he first generates a integer r between 1 and n (both inclusive) uniform-randomly, and then generates another integer l between 1 and r (both inclusive) uniform-randomly. The interval [l, r] is then constructed. Avin has constructed two intervals using the method above. He asks you what the probability that two intervals intersect is. You should print p* (MOD 1, 000, 000, 007), while  denoting the probability.

​Input​

Just one line contains the number n (1 ≤ n ≤ 1, 000, 000).

​Output​

Print the answer.

​Sample Input​

1 2

​Sample Output​

1 750000006

​Source​

2019CCPC-江西省赛（重现赛）- 感谢南昌大学

【题意】给你一个n，第一次可随机从1到n选一个点r，接着从1到r随机选择一个点l，那么就选出了一个区间,l,r，以同样的方法选第二个区间，问两个区间相交的概率。

【做法】

​

反过来思考比较简单，我求不相交的概率，然后1减去它就行了

自己参考着手推一遍就会了

分析：设第一个区间的右端点为a，第二个为b，那么可以得到两个区间不相交的概率为：

（1）b>a时，p=(b-a)/b

（2）b<a时，p=(a-b)/a

那么当a固定时，枚举b得到

再枚举a得到

将a和b替换成ij，再随便化简一下

再用1减一下就是答案了，处理一个后缀和就可以求解了。

这里它中间化简省略了很多，因为公式比较难打，建议自己手写一遍。。

【代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+10;
const ll mod=1e9+7;
ll n;
ll b[N];
ll cal(ll n)
{
    return n*(n+1)/2;
}
ll powmod(ll a,ll b)
{
    ll res=1;
    for(;b;b>>=1)
    {
        if(b&1) res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
    }
    return res;
}
ll inv(ll x)
{
    return powmod(x,mod-2);
}
int main()
{
    cin>>n;
    ll ans=0;
    for(ll i=n;i>=1;i--)
    {
        b[i]=(b[i+1]+inv(i))%mod;
    }
    for(ll i=1;i<=n;++i)
    {
        ans=(ans+(i+1)*inv(2)%mod+i*b[i+1]%mod)%mod;
    }
    printf("%lld\n",ans*inv(n*n%mod)%mod);
}