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1.位运算概述
位运算就是直接对整数在内存中的二进制位进行操作，由于计算机内部就是以二进制来存储数据，位运算是相当快的。
基本的位运算共 6种，分别为按位与、按位或、按位异或、按位取反、左移和右移。
位运算一般有三种作用：
2.位运算符
| 含义 | 符号 | 简述 |
|---|---|---|
| 按位与 | a & b | 同一得 1 |
| 按位或 | a | b | 有一得 1 |
| 按位异或 | a ^ b | 相同得 0 |
| 按位取反 | ~a | 取反 |
| 左移 | a << b | 向左移动，低位补零，高位舍弃 |
| 带符号右移 | a >> b | 向右移动，高位补原有高位，低位舍弃 |
-
复合赋值位运算符
和
+=,-=等运算符类似，位运算也有复合赋值运算符：&=,|=,^=,<<=,>>=。（取反是单目运算，所以没有） -
数组初始化
memset(f,0x3f,sizeof(f)) -
位移运算符
左移运算符 << 二进制 ： 1 -> 10 -> 100 -> 1000 十进制 ： 1 -> 2 -> 4 -> 8 综上所述：1 << n == 2^n 右移运算符 >> 二进制 ： 1000 -> 100 -> 10 -> 1 十进制 : 8 -> 4 -> 2 -> 1 综上所述: n >> x == n / (2^x) -
运算符优先级
~的优先级最高，其次是<<、>>，再次是＆，然后是^，优先级最低的是|。
位运算的优先级 低于 算术运算符（除了取反），而按位与、按位或及异或 低于 比较运算符（详见 运算页面 ），所以使用时需多加注意，在必要时添加括号。
3.位运算应用
3.1整数的奇偶性判断
-
朴素做法
if(a%2==1) //为奇数 else //为偶数 -
按位与 -> 二进制的末位为0表示偶数，最末位为1表示奇数
if(a & 1 != 1) //为奇数 else //为偶数
3.2有关 2 的幂的应用
将一个数乘（除） 2 的非负整数次幂
// 计算 n*(2^m)
int mulPowerOfTwo(int n, int m)
{
return n << m;
}
// 计算 n/(2^m)
int divPowerOfTwo(int n, int m)
{
return n >> m;
}
判断一个数是否是2的幂次方，若是，并判断出来是多少次方
题目链接： 力扣 231. 2的幂
将2的幂次方写成二进制形式后，很容易就会发现有一个特点：二进制中只有一个1，并且1后面跟了n个0； 因此问题可以转化为判断1后面是否跟了n个0就可以了
代码实现如下：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//判断一个数是2的多少次方
int log2(int value)
{
int x=0;
while(value>1)
{
value>>=1;
x++;
}
return x;
}
int main()
{
int num;
scanf("%d",&num);
//使用与运算判断一个数是否是2的幂次方
if(num&(num-1))
printf("%d不是2的幂次方！\n",num);
else
printf("%d是2的%d次方！\n",num,log2(num));
return 0;
}
3.3lowbit(x)返回x的最后一位1
lowbit(x)：返回x的最后一位1，即一个二进制最低位的1与后边的0组成的数。
x = 1010 lowbit(x) = 10
x= 101000 lowbit(x) = 1000
实现原理：x & -x = x & (~x + 1)，负数的补码：原码取反加一（利用了负整数的补码特性）
3.4二进制数中1的个数
题目链接：力扣 191.位1的个数
-
朴素做法 -> 使用移位操作，判末位是否为1；移位的次数为32
int BitCount(unsigned int n) { unsigned int c =0 ; // 计数器 while (n >0) { if((n &1) ==1) // 当前位是1 ++c ; // 计数器加1 n >>=1 ; // 移位 } return c ; } -
快速做法 -> 迭代n=n&(n-1)，消除最右边的1，计数
int BitCount2(unsigned int n) { unsigned int c =0 ; for (c =0; n; ++c) { n &= (n -1) ; // 清除最低位的1 } return c ; }
3.5求二进制位的某一位是几
n 的二进制中第 k 位数字
应用：输出n=10的二进制
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int n=10;
for(int k=3;k>=0;k--) //从0位开始的（右到左）
cout<<(n>>k&1);
return 0;
}
3.6交换两个整型变量的值
例题：int A = 10, int B = 20, 在不引入第3个变量的情况下，交换两个变量的值。
异或法——代码实现
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int A = 10;
int B = 20;
printf("交换前A = %d B = %d\n", A, B);
A = A ^ B;
B = A ^ B;
A = A ^ B;
printf("交换后A = %d B = %d\n", A, B);
return 0;
}
3.7数组中x出现的次数
应用一：数组中，只有一个数出现一次，剩下都出现两次，找出出现一次的数
题目链接：力扣 136.只出现一次的数字 |
代码实现
int singleNumber(int nums[])
{
int result = 0, n = sizeof(nums)/sizeof(nums[0]);
for (int i = 0; i < n; i++)
{
result ^= nums[i];
}
return result;
}
应用二：数组中，只有一个数出现一次，剩下都出现三次，找出出现一次的数
题目链接：力扣 137.只出现一次的数字||
代码实现
int singleNumber(vector<int>& nums)
{
int ans = 0;
for (int i = 0; i < 32; ++i) {
int total = 0;
for (int num: nums) {
total += ((num >> i) & 1);
}
if (total % 3) {
ans |= (1 << i);
}
}
return ans;
}
针对上面进行拓展，如果是数组中，只有一个数出现一次，剩下都出现 k 次 ，找出出现一次的数呢
total % k //将3改为 k ，对 k 进行取模即可
应用三：如何找数组中唯一成对的那个数
1-10这10个数放在含有11个元素的数组中，只有唯一一个元素重复，其他均只出现一次，要求每个数组元素只能够被访问一次，请设计一个算法，将它找出来 。
代码实现
int findDouble(int T[])
{
int res=0; //定义一个返回结果，初始值为0，因为A^0=A
//先对T数组进行异或
for(int i=0;i<T.length;i++)
{
res^=T[i];
}
//在与1~1000异或
for(int i=1;i<=1000;i++)
{
res^=i;
}
return res;
}
3.8快速幂取模
给你三个整数 a,b,p，求
a
b
m
o
d
p
a^ b mod p
abmodp。
题目链接：P1226 【模板】快速幂 | 取余运算
取平方思路
取模定理
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
乘积的取模等于各个因子取模相乘然后再取模；
取模的运算不会干涉乘法运算，因此我们只需要在计算的过程中取模即可 。
快速幂代码实现
long long binpow(long long a, long long b)
{
long long res = 1;
while (b > 0)
{
if (b & 1) res = res * a;
a = a * a;
b >>= 1;
}
return res;
}
快速幂取模代码实现
long long binpow(long long a, long long b, long long m)
{
a %= m;
long long res = 1;
while (b > 0)
{
if (b & 1) res = res * a % m;
a = a * a % m;
b >>= 1;
}
return res;
}
4.位运算总结
在刷题中，位运算是一个非常常见的技巧和思路。它能够在一定程度上优化时间和空间复杂度，使得程序更加高效。
在一些需要对二进制进行操作的场景中，位运算能够帮助我们更好地处理问题。比本文介绍的在统计一个数的二进制中有几个1的问题、判断一个数是否是2的幂次方、交换两个整型变量的值等等。
