x+2y+3z=n的非负整数解数

题目：给定一个正整数

，范围是

，对于方程

，其中

，

，

为非负整数，求有多     少个这样的三元组

满足此等式。

分析：本题最暴力的做法就是直接嵌套循环枚举，这样时间复杂度很大，不可取。仔细想想，先看

，

     这个等式的非负整数解数目为

     然后再看方程

，设

     那么方程解的总数目为

     所以枚举就行了。

代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

LL work(LL n)
{
    LL ans = 0;
    for(int k = 0; k <= n / 3; k++)
        ans += (n - 3 * k) / 2 + 1;
    return ans;
}

int main()
{
    LL n;
    while(cin>>n)
        cout<<work(n)<<endl;
    return 0;
}

实际上，对于上面得到的结果可以继续进行优化的。要分类讨论

 1. 当

    针对每一个

，如果

为奇数，那么

是偶数，所以

本身就是整数，不用管。而如果

是偶    数，那么

就是奇数了，这样就有

   （1）如果

为奇数，此时得到最终答案是

   （2）如果

为偶数，那么最终答案是

 2. 当

    针对每一个

，如果

为奇数，那么

为奇数，而

    如果

为偶数，那么

为偶数，所以

就是它本身。

   （1）如果

为奇数，那么最终答案是

   （2）如果

为偶数，最终答案是

代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

LL work(LL n)
{
    LL k = n / 3;
    LL t = (k + 1) * n - 3 * k * (k + 1) / 2;
    LL ans = k + 1;
    if(k & 1) t -= (k + 1) / 2;
    else if(n & 1) t -= (k / 2 + 1);
    else t -= k / 2;
    t >>= 1;
    return ans + t;
}

int main()
{
    LL n;
    while(cin>>n)
        cout << work(n) << endl;
    return 0;
}