代数学例题: 正规子群与商群的理解

写在前面

最近有同学问我关于一道正规子群与商群部分的题, 题目如下

设和都是有限群的正规子群, 若, 则是否成立.

大家可以先思考一下这个问题, 下面我们先来回忆一下群论中​​陪集​​​, ​​正规子群​​​, ​​商群​​​的定义, 这里我直接偷个懒, 大家可以看​​代数学笔记5: 群论(一)_zorchp-​​

简单分析

其实对于这个题来说, 我们只要考虑循环群的情况即可, 找到一个​​pq​​​阶群(), 其两个子群必定为正规子群, 而, 这样就得到两正规子群诱导的商群不具有包含关系(子群关系). 不过直接想的话会比较抽象, 大家可以看下面两个例子.

成立的情况(考虑对称群)

考虑这样的一组正规子群:

即, , , 显然满足题设. 下面来看结论

而

, 所以命题成立.

但是对于循环群是否成立呢?我们可以考虑这样的例子:

反例(循环群)

取, 其中. (为方便书写, 将运算省去)则显然可以找到, ,

由于循环群(交换群)的每一个子群都为正规子群, 所以显然满足题设, 下面分别来看商群:

而

由于阶循环群中没有二阶元, 所以.

小结

这道题其实并不难, 但是寻找这个反例的过程却让我明白, 要想让抽象代数学起来不那么抽象, 真的是要自己动笔去算, 找一些具体的例子, 这才能加深对概念定理的理解, 才能让抽象代数不那么抽象, 而在脑海中慢慢清晰起来.

希望大家也能受到启发~