【背包问题の第五讲】强化利用「等差」特性推导「完全背包」的核心要素-CFANZ编程社区

前言

今天是我们讲解动态规划专题中的「背包问题」的第五天。

从本篇开始，我们会完成三道与完全背包相关的练习题，希望大家能够坚持住。

另外，我在文章结尾处列举了我所整理的关于背包问题的相关题目。

背包问题我会按照编排好的顺序进行讲解（每隔几天更新一篇，确保大家消化）。

你也先可以尝试做做，也欢迎你向我留言补充，你觉得与背包相关的 DP 类型题目 ~

题目描述

这是 LeetCode 上的279. 完全平方数，难度为 Medium。

给定正整数，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于。

你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

给你一个整数，返回和为的完全平方数的「最少数量」。

「完全平方数」是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。

例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

示例 1：

输入：n = 12

输出：3

解释：12 = 4 + 4 + 4

示例 2：

输入：n = 13

输出：2

解释：13 = 4 + 9

提示：

1 <= n <=

完全背包（朴素解法）

首先「完全平方数」有无限个，但我们要凑成的数字是给定的。

因此我们第一步可以将范围在内的「完全平方数」预处理出来。

这一步其实就是把所有可能用到的数字先预处理出来。

同时由于题目没有限制我们相同的「完全平方数」只能使用一次。

因此我们的问题转换为：

给定了若干个数字，每个数字可以被使用无限次，求凑出目标值所需要用到的是最少数字个数是多少。

这显然符合「完全背包」模型。

目前我们学过的两类背包问题（01 背包 & 完全背包）的原始状态定义都是两维：

第一维代表物品编号
第二维代表容量

其中第二维又有「不超过容量」和「容量恰好为」两种定义。

本题要我们求「恰好」凑出所需要的最少个数。

因此我们可以调整我们的「状态定义」：

为考虑前个数字，凑出数字总和所需要用到的最少数字数量。

不失一般性的分析，对于第个数字（假设数值为），我们有如下选择：

选 0 个数字，此时有
选 1 个数字，此时有
选 2 个数字，此时有

...

选 k 个数字，此时有

因此我们的状态转移方程为：

当然，能够选择个数字的前提是，剩余的数字也能够被其他「完全平方数」凑出，即为有意义的值。

代码：

class Solution {
    int INF = -1;
    public int numSquares(int n) {
        // 预处理出所有可能用到的「完全平方数」
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        int idx = 1;
        while (idx * idx <= n) {
            list.add(idx * idx);
            idx++;
        }

        // f[i][j] 代表考虑前 i 个物品，凑出 j 所使用到的最小元素个数
        int len = list.size();
        int[][] f = new int[len][n + 1];

        // 处理第一个数的情况
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            int t = list.get(0);
            int k = j / t;
            if (k * t == j) { // 只有容量为第一个数的整数倍的才能凑出
                f[0][j] = k;
            } else { // 其余则为无效值
                f[0][j] = INF;
            }
        }

        // 处理剩余数的情况
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            int t = list.get(i);
            for (int j = 0; j <= n; j++) {

                // 对于不选第 i 个数的情况
                f[i][j] = f[i - 1][j];

                // 对于选 k 次第 i 个数的情况
                for (int k = 1; k * t <= j; k++) {
                    // 能够选择 k 个 t 的前提是剩余的数字 j - k * t 也能被凑出
                    if (f[i - 1][j - k * t] != INF) {
                        f[i][j] = Math.min(f[i][j], f[i - 1][j - k * t] + k);
                    }
                }

            }
        }
        return f[len - 1][n];
    }
}

时间复杂度：预处理出所有可能用到的数字复杂度为，共有个状态需要转移，每个状态转移最多遍历次，因此转移完所有状态复杂度为。整体复杂度为。
空间复杂度：。

完全背包（进阶）

显然朴素版的完全背包进行求解复杂度有点高。

在上一节讲解完全背包的时候，我们从「数学」角度来推导为何能够进行一维空间优化。

这次我们还是按照同样的思路再进行一次推导，加强大家对这种优化方式的理解。

从二维的状态转移方程入手进行分析（假设第个数字为）：

【背包问题の第五讲】强化利用「等差」特性推导「完全背包」的核心要素_数据结构

至此，我们得到了最终的状态转移方程：

代码：

class Solution {
    int INF = -1;
    public int numSquares(int n) {
        // 预处理出所有可能用到的「完全平方数」
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        int idx = 1;
        while (idx * idx <= n) {
            list.add(idx * idx);
            idx++;
        }

        // f[j] 代表考虑到当前物品为止，凑出 j 所使用到的最小元素个数
        int len = list.size();
        int[] f = new int[n + 1];

        // 处理第一个数的情况
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            int t = list.get(0);
            int k = j / t;
            if (k * t == j) { // 只有容量为第一个数的整数倍的才能凑出
                f[j] = k;
            } else { // 其余则为无效值
                f[j] = INF;
            }
        }

        // 处理剩余数的情况
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            int t = list.get(i);
            for (int j = t; j <= n; j++) {
                // 当不更新 f[j] 的时候，对应了二维表示中的 f[i - 1][j]

                // 可以更新 f[j] 的前提是：剩余的 j - k * t 也能够被凑出
                // 更新 f[j] 所依赖的 f[j - t] 对应了二维表示中的 f[i - 1][j - k * t]
                if (f[j - t] != INF) f[j] = Math.min(f[j], f[j - t] + 1);
            }
        }

        return f[n];
    }
}