牛客算法题——平衡二叉树

题目描述

输入一棵二叉树，判断该二叉树是否是平衡二叉树。

在这里，我们只需要考虑其平衡性，不需要考虑其是不是排序二叉树
平衡二叉树（Balanced Binary Tree），具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

题目解答

这道题中的平衡二叉树的定义是：二叉树的每个节点的左右子树的高度差的绝对值不超过 11，则二叉树是平衡二叉树。根据定义，一棵二叉树是平衡二叉树，当且仅当其所有子树也都是平衡二叉树，因此可以使用递归的方式判断二叉树是不是平衡二叉树，递归的顺序可以是自顶向下或者自底向上。

方法一：自顶向下的递归

定义函数height，用于计算二叉树的任意一个节点p的高度：

有了计算节点高度的函数，即可判断二叉树是否平衡。具体做法类似于二叉树的前序遍历，即对于当前遍历到的节点，首先计算左右子树的高度，如果左右子树的高度差是否不超过 11，再分别递归地遍历左右子节点，并判断左子树和右子树是否平衡。这是一个自顶向下的递归的过程。

class Solution:
    # :和->后面是函数注释
    def isBalanced(self, root: TreeNode) -> bool:
        def height(root: TreeNode) -> int:
            if not root:
                return 0
            return max(height(root.left), height(root.right)) + 1

        if not root:
            return True
        return abs(height(root.left) - height(root.right)) <= 1 and self.isBalanced(root.left) and self.isBalanced(root.right)

自顶向下复杂度分析

时间复杂度：,其中是二叉树中的节点个数。

最坏情况下，二叉树是满二叉树，需要遍历二叉树中的节点个数。

对于节点，如果它的高度是，则最多会被调用次（即遍历到它的每一个祖先节点时）。对于平均的情况，一棵树的高度满足,因为，所以时间总复杂度为。对于最坏的情况，二叉树形成链式结构，高度为，此时总时间复杂度为。
空间复杂度：,其中是二叉树中节点的个数。空间复杂度注意取决于递归调用的成熟，递归调用的层数不会超过

自底向上的递归

方法一由于是自顶向上递归，因此对于同一个节点，函数height会被重复调用，导致时间复杂度较高。如果使用自底向上的做法，则对于每个节点，函数height只会被调用一次。

自底向上递归的做法类似于后序遍历，对于当前遍历到的节点，先递归地判断其左右子树是否平衡，再判断以当前节点为根的子树是否平衡。如果一棵子树是平衡的，则返回其高度(高度一定是非负数)，否则返回-1，如果存在一棵子树不平衡，则整个二叉树一定不平衡。

class Solution:
    def isBalanced(self, root: TreeNode) -> bool:
        def height(root: TreeNode) -> int:
            if not root:
                return 0
            leftHeight = height(root.left)
            rightHeight = height(root.right)
            if leftHeight == -1 or rightHeight == -1 or abs(leftHeight - rightHeight) > 1:
                return -1
            else:
                return max(leftHeight, rightHeight) + 1

        return height(root) >= 0