【微波技术与电路】02 有界空间的微波

如果不考虑边界条件，波导中电磁场满足的方程和无限介质中的相同。其时谐解满足 Helmholtz 方程

$({\mathrm{\nabla }}^2+{\omega }^2\epsilon \mu )\left(\begin{array}{c}\mathit{E}\\ \mathit{B}\end{array}\right)=0$

另一方面利用 Maxwell 方程组，可将电磁场 横向分量 例如 $\boldsymbol{E}_\tau\equiv-(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{\hat e}_z)\times\boldsymbol{\hat e}_z$ 用 纵向分量 $\boldsymbol{E}_z\equiv{E}_z\boldsymbol{\hat e}_z$ 表示，从而只需要求解关于纵向分量 $(E_z,B_z)$ 的边值问题。

1. 假设电磁波的导行方向 $z$ 上有平移不变性，波导中的电磁场可以写为 $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)=\boldsymbol{E}_0(x,y)e^{i(\pm{k}_zz-\omega{t})}$ ，其中 $k_z$ 是 导行电磁波的波数 。代入 Helmholtz 方程 $(\nabla^2+\omega^2\varepsilon\mu)\boldsymbol{E}=0$ 变为

$(\nabla^2_\tau+\omega^2\varepsilon\mu-k_z^2)\begin{pmatrix}\boldsymbol{E}\\\boldsymbol{B}\end{pmatrix}=0$

2. 考虑以下展开式

从而可以将 $\boldsymbol{E}_\tau$ 和 $\boldsymbol{B}_\tau$ 用 $E_z,B_z$ 解析地表出：

$\begin{aligned} \boldsymbol{E}_\tau&=\frac{\pm{i}}{\omega^2\varepsilon\mu-k_z^2}[k_z\nabla_\tau{E}_z\mp\omega(\boldsymbol{\hat e}_z\times\nabla_\tau)B_z]\\ \boldsymbol{B}_\tau&=\frac{\pm{i}}{\omega^2\varepsilon\mu-k_z^2}[k_z\nabla_\tau{B}_z\pm\omega\mu\varepsilon(\boldsymbol{\hat e}_z\times\nabla_\tau)E_z] \end{aligned}$

波导的边界是理想导体，其内部电磁场量为零，而交界面上可以存在面电荷、面电流。所以边界上允许有非零的 $\boldsymbol{D}_n,\boldsymbol{H}_t$ ，而 $\boldsymbol{B}_n=0,\boldsymbol{E}_t=0$ 。从而

$(\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{E})\Big|_S=0\qquad(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{B})\Big|_{S}=0$

注意这里有两套坐标：纵向 $z$ （电磁波的导行方向）和横向 $\tau$ ；界面的法向 $n$ 和切向 $t$ 。显然界面的法向是导行电磁波的横向。上述边界条件可以进一步讨论化简，最后得到电磁场的本征值问题

$\begin{aligned} (\nabla^2_\tau+\omega^2\varepsilon\mu-k_z^2)E_z(x,y,z)=0\\ (\nabla^2_\tau+\omega^2\varepsilon\mu-k_z^2)B_z(x,y,z)=0\\ E_z\Big|_S=0\qquad\frac{\partial{B_z}}{\partial{n}}\bigg|_S=0 \end{aligned}$

• 对于一定的频率 $\omega$ ，只有某些 $k_z$ 的电磁波满足微分方程和边界条件，可以导行（波导）；
• 对于一定的波数 $k_z$ ，只有某些频率 $\omega$ 的电磁波满足微分方程和边界条件，允许存在（谐振腔）。

两个边界条件是截然不同的，对应着不同的本征值， 一般无法同时满足 。
考虑到横向分量可以用纵向分量解析表示，按照纵向分量的行为就可以将导行电磁波分类。上述边值问题还说明了金属波导的一个重要特性：横电和横磁模式是完全分离的，互相没有干扰。它们各自由自己的边条件所完全确立：

• 横电波（TE）

$\begin{aligned} (\nabla^2_\tau+\omega^2\varepsilon\mu-k_z^2)&B_z(x,y,z)=0\\ E_z\equiv0\qquad&\cfrac{\partial{B_z}}{\partial{n}}\bigg|_S=0 \end{aligned}$

• 横磁波（TM）

$\begin{aligned} (\nabla^2_\tau+\omega^2\varepsilon\mu-k_z^2)&E_z(x,y,z)=0\\ B_z\equiv0\qquad&E_z\Big|_S=0 \end{aligned}$

• 横电磁波（TEM）

$\begin{aligned} \boldsymbol{k}=k_z\boldsymbol{\hat e}_z\qquad&k_z=\omega\sqrt{\varepsilon\mu}\\ E_z\equiv0\qquad&B_z\equiv0 \end{aligned}$

介质波导没有这样的好性质。

沿传播方向的波矢分量（即导行波的波数） $k_z^2>0$ 时电磁波才可以导行，否则将导致衰减项 $e^{-({\rm Re}k_z)z}$ 。而 $k_z^2=\omega^2\varepsilon\mu-k_\tau^2$ ，所以 TE 波和 TM 波的频率有下限

$\omega^*=\frac{k_\tau}{\sqrt{\varepsilon\mu}}$

称为 截止频率 。这表明波导是高通滤波器。

横电磁波 $k_\tau^2=\omega^2\varepsilon\mu-k_z^2\equiv{0}$ ，从而截止频率为零，在波导中的传播不受限制。事实上对于 TEM 波： $\{\boldsymbol{E},\boldsymbol{B},\boldsymbol{k}\}$ 构成右手系，波速 $v_p=\cfrac{c}{n(\omega)}$ ，色散关系 $k(\omega)=\omega\sqrt{\varepsilon\mu}$ ，和无界空间中传播的平面电磁波完全相同。

但是， TEM 模式无法在一个单连通截面的波导管中存在，因为一个二维单连通区域中的拉普拉斯方程

$\nabla^2_\tau\begin{pmatrix}\boldsymbol{E}_\tau\\\boldsymbol{B}_\tau\end{pmatrix}=0$

如果它的解在边界为零，在该区域内也一定恒等于零。物理上，因为导体表面等势，导体内部电场为零（这里省略了类比推理）。所以横电磁波不可以在单个导体中传播；实际应用中，可以使用同轴电缆、平行导线等 能支持电势差的结构 来实现 TEM 模式的传播。

关系式 $k_z^2={\omega }^2\epsilon \mu -k_{\tau }^2$ 利用截止频率改写成

$k_z=\sqrt{\varepsilon\mu}\sqrt{\omega^2-\omega^*{}^2}$

这可以看作波导中的色散关系。从而对于横电、横磁模式

• 相速度 $v_p=\cfrac{\omega}{k_z}=\cfrac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\cfrac{1}{\sqrt{1-(\omega^*/\omega)^2}}>\cfrac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}=\cfrac{c}{n}$
• 群速度 $v_g=\cfrac{1}{k_z'(\omega)}=\cfrac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\sqrt{1-(\omega^*/\omega)^2}<\cfrac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}=\cfrac{c}{n}$

二者乘积为介质光速的平方。如果介质为真空，会有 $v_p>c$ 和 $v_g<c$ 。在电磁波频率接近截止频率 $w^*$ 时，相速度趋于无穷。当然根据定义，波导内电磁能量的流动速度应该用群速度描述。

定义波导中的 波阻抗

讨论无界介质时将 $\nabla\cdot\begin{pmatrix}\boldsymbol{E}\\\boldsymbol{B}\end{pmatrix}=0$ 称为横波性条件，其实它不足以保证电磁场的解是 $\boldsymbol{k}\cdot\begin{pmatrix}\boldsymbol{E}\\\boldsymbol{B}\end{pmatrix}\equiv0$ 的横波 。

在波导中导行的任意电磁波，在边界条件的限制下一般有非零的 $E_z,H_z$ 分量，不是横波。但它们总可以用 TE 、TM 、TEM 波来描述。横电波满足 $\boldsymbol{k}\perp\boldsymbol{E}$ ，横磁波满足 $\boldsymbol{k}\perp\boldsymbol{B}$ 。