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洛谷 P2651 添加括号III

题目描述

现在给出一个表达式，形如 $a_{1}/a_{2}/a_{3}/.../a_{n}$ 。

如果直接计算，就是一个个除过去，比如 $1 / 2 / 1 / 4 = 1 / 8$ 。

然而小 $\text{A}$ 看到一个分数感觉很不舒服，希望通过添加一些括号使其变成一个整数。一种可行的办法是 $(1 / 2) / (1 / 4) = 2$ 。

现在给出这个表达式，求问是否可以通过添加一些括号改变运算顺序使其成为一个整数。

输入格式

一个测试点中会有多个表达式。

第一行 $t$ ，表示表达式数量。

对于每个表达式，第一行是 $n$ ，第二行 $n$ 个数，第 $i$ 个数表示 $a_{i}$ 。

输出格式

输出 $t$ 行。

对于每个表达式，如果可以通过添加括号改变顺序使其变成整数，那么输出 Yes，否则输出 No。

输入输出样例

In 1：

Out 1：

Yes
No

数据范围

对于 $40\%$ 的数据， $\le 16$ 。
对于 $70\%$ 的数据， $\le 100$ 。
对于 $100\%$ 的数据， $\le n \le 10000$ ， $\le t \le 100$ ， $\le a_{i}\le 2^{31}-1$ 。

题解

看到这道题我最开始想到的是枚举，但是看看数据范围哪怕只有一组数据也是严重超时的。

所以我们要找特殊情况：希望一个分数是整数，则肯定要让出现在分子上的数字尽可能得多。而在本题中， $a_2$ 是一定出现在分母上的，所以我们让其它数字全部出现在分子上

即本题存在一个“最整情况”，当式子为 $a_{1}/(a_{2}/a_{3}/.../a_{n})$ ，即化简后为 $(a_{1} \times a_{3} \times ... \times a_{n}) / a_{2}$ 时分母最小，分子最大，式子最可能是整数。

换句话说，如果存在其它情况使得式子是整数，则在当前情况下也一定是整数（证明：当前式子可由任意一个式子乘 $(a_{i}^2 \times a_{j}^2 \times ...)$ 得到，其中 $a_i, a_j, ...$ 为分母上除了 $a_2$ 外的数）。

接下来就要判断在“最整情况”下式子是否为整数。我们自然可以把 $(a_{1} \times a_{3} \times ... \times a_{n}) / a_{2}$ 的结果算出来，但这需要高精，而且事实上也没有必要，因此我们优化：

求分母与分子的最大公因数，判断约分后分母是否为 $1$ 。进而地，我们求分母与分子上每一个因数 $a_{1}, a_{3}, ... , a_{n}$ 的最大公因数并依次用得到的数去除（除不是除以）分母的 $a_2$ ，看分母是否能变为 $1$ 即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, a[10001];

inline void read(int &x) {  // 快读，来自我之前的博客
    x = 0;
    short flag = 1;
    char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') {
        if (c == '-') flag = -1;
        c = getchar();
    }
    while (c >= '0' && c <= '9') {
        x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48);
        c = getchar();
    }
    x *= flag;
}

int main() {
    int t;
    read(t);
    while (t--) {  // t组数据
        read(n);
        for (int i = 1; i <= n; i++) read(a[i]);  // 读入每一个数字

        a[2] /= __gcd(a[1], a[2]);
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            a[2] /= __gcd(a[i], a[2]);  // 不停除以两数的最大公约数
            if (a[2] == 1) break;  // 如果已经为整数则跳出
        }

        // 判断最后分子是否化为1
        if (a[2] == 1)
            cout << "Yes\n";
        else
            cout << "No\n";
    }

    return 0;
}