C++常引用详解

文章目录

• 一. 重要定理
• • 1. 代数余子式
  • 2. 主要公式
  • 3. 方阵的行列式
  • 4. 克拉默法则
• 三. 典型例题
• • 1. 行列式计算
  • • 1.1. 数字型行列式
    • • 题型一：代数余子式降阶、拉普拉斯
      • 题型二：逐行消元，化为上三角式
    • 1.2.抽象行列式（考察行列式的性质）
    • • 题型一. |A+B| 型的计算
      • 题型二. 使用特征值，使用相似
      • 题型三. 矩阵运算
  • 2. 行列式的应用
  • • 2.1. 特征多项式
    • 2.2. 克拉默法则
    • 2.3. 矩阵秩的概念
  • 3. 关于|A|=0的判断
  • 4. 代数余子式之和

一. 重要定理

1. 代数余子式

代数余子式之和

代数余子式怎么求：

不同行同列的代数余子式=0

2. 主要公式

主对角线行列式
副对角线行列式
拉普拉斯展开式
范德蒙

3. 方阵的行列式

4. 克拉默法则

三. 典型例题

1. 行列式计算

1.1. 数字型行列式

题型一：代数余子式降阶、拉普拉斯

1. 通过代数余子式降阶求行列式

代数余子式降阶

拉普拉斯：
先换行在换列，然后再使用拉普拉斯

 
消元、代数余子式、局部下三角。
简化逻辑：消元。

 
（看到局部行列式）逐行相加消元。

题型二：逐行消元，化为上三角式

逐行（上一行的结果用于下一行）消元，变成三角式行列式。

逐行消元，化为上三角式。

代数余子式化简，然后观察x三次方的系数。

1.2.抽象行列式（考察行列式的性质）

题型一. |A+B| 型的计算

利用行列式的性质：提行列式系数、行列式拆开

题型二. 使用特征值，使用相似

题型三. 矩阵运算

2. 行列式的应用

2.1. 特征多项式

凑因式是求解本题型最佳方式。
简化成上三角，进而凑因式。

找公因式是做题思路

2.2. 克拉默法则

直接公式。

化成齐次方程组、非零矩阵=>非零解，A不是满秩。

2.3. 矩阵秩的概念

3. 关于|A|=0的判断

4. 代数余子式之和

1. 同行不同列，两个不同的列，代数余子式相乘=0。
2. 因为代数余子式与第三行无关，所以重新构建第三行。

方法1：直接求各个元素的代数余子式

方法2：分块矩阵求逆
求逆：初等变换法求逆[A:E]+分块求逆的公式。