西农 算法设计与分析第四版王晓东（第一次作业）

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1-3

写一个通用方法用于判定给定数组是否已排好序。
解： 分析问题：
1.满足从小到大或从大到小 2.满足各种合法的数据类型 3.满足负数，零和正数

//C++实现
template <class T>//使用模板
bool IsSorted(T* a, int n) {
	int Lower = 0;
	int Higher = 0;
	int i = 0;
	for (i = 0; i < n; i++) {
    	if (a[i] > a[i+1]) Lower ++;
    	if (a[i] < a[i+1]) Higher ++;
     	if (a[i] == a[i+1]) {Lower++;Higher++;}
    if ((toLow == i) || (toHigh == i )) return true;
    return false;
}

1-4

求下列函数的渐进表达式。
$（1）3n^2+10n$ $（2）n^2/10+2^n$ $（3）21+1/n$ $（4）\log n^3$ $（5）10\log 3^n$
解： 分析问题：
算法复杂性的关系：$O(1)<O(\log n)<O(n\log n)<O(n)<O(n^2)<O(n^3)<\cdots <O(n^m)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)$

$（1）3n^2+10n=O(n^2)$ $（2）n^2/10+2^n=O(2^n)$ $（3）21+1/n=O(1)$
$（4）\log n^3=3\log n=O(\log n)$ $（5）10\log 3^n=(10\log 3)n=O(n)$

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说明$O(1)$和$O(2)$的区别。
解： $O(1)=O(2)$，用$O(1)$和$O(2)$表示同一个函数时，差别仅在于常数因子。

1-6

按照渐进阶从低到高的顺序排列以下表达式：$4n^2,\log n,3^n,20n,2,n^{2/3}$。又$n!$应该排在哪一位？
解： 排列顺序为：$2,\log n,n^{2/3},4n^2,3^n,n!$。

1-7

（1）假设某算法在输入规模为$n$时的计算时间为$T(n)=3\times 2^n$。在某台计算机上实现并完成该算法的时间为$t$秒。现有另一台计算机，其运行速度为第一台的$64$倍，那么在这台新机器上用同一算法在$t$秒内能解输入规模多大的问题?
（2）若上述算法的计算时间改进为$T(n)=n^2$，其余条件不变，则在新机器上用$t$秒时间能解输入规模多大的问题?
（3）若上述算法的计算时间进一步改进为$T(n)=8$，其余条件不变，那么在新机器上用$t$秒时间能解输入规模多大的问题?
解： $（1）$由题知 $3\times 2^n=(3\times 2^{n_1})/64$,解得$n_1=n+6$，则能解输入规模为$n+6$的问题。
$（2）$由题知$n^2=n_2^2/64$,解得$n_2=8n$，则能解输入规模为$8n$的问题。
$（3）$在输入规模为$n$时的计算时间为$T(n)=8$,则能解任意输入规模的问题。

1-8

硬件厂商XYZ公司宣称他们最新研制的微处理器的运行速度为其竞争对手ABC公司同类产品的的100倍。对于计算复杂性分别为$n,n^2,n^3$和$n!$的各算法，若用ABC公司的计算机在1小时内能解决输入规模为$n$的问题，那么用XYZ公司的计算机在1小时内分别能解输入规模为多大的的问题？
解：$n_1=100n;{n_2}^2=100n^2,$则$n_2=10n;{n_3}^3=100n^3,$则$n_3=\sqrt[3]{100}n;$

1-9

对于下列各组函数$f(n)$和$g(n)$，确定$f(n)=O(g(n))$或$f(n)=\Omega (g(n))$或$f(n)=\theta (g(n))$，并简述理由。
$（1）f(n)=\log n^2,g(n)=\log n+5$
$（2）f(n)=\log n^2,g(n)=\sqrt{n}$
$（3）f(n)=n,{g(n)=\log }^{2}n$
$（4）f(n)=n\log n+n,g(n)=\log n$
$（5）f(n)=10,g(n)=\log 10$
$（6）f(n)={\log }^{2}n,g(n)=\log n$
$（7）f(n)=2^n,g(n)=100n^2$
$（8）f(n)=2^n,g(n)=3^n$
解： 分析问题：
算法复杂性的关系：$O(1)<O(\log n)<O(n\log n)<O(n)<O(n^2)<O(n^3)<\cdots <O(n^m)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)$
$（1）\log n^2=2\log n$，则$f(n)$与$g(n)$同阶，即$\log n^2=\theta (\log n+5)$。
$（2）\log n^2=2\log n\le \sqrt{n}$,则$g(n)$是$f(n)$的上界，即$\log n^2=O(\sqrt{n})$。
$（3）$令$n=2^m$,则$f(n)=2^m,g(n)=m^2$,则$g(n)$是$f(n)$的下界，即$n=\Omega ({\log }^{2}n)$。
$（4）n\log n+n\ge \log n$，则$g(n)$是$f(n)$的下界，即$n\log n+n=\Omega (\log n)$。
$（5）10$和$\log 10$都是常数，则$f(n)$与$g(n)$同阶，即$10=\theta (\log 10)$。
$（6）{\log }^{2}n=\log n\times \log n\ge \log n$,则$g(n)$是$f(n)$的下界，即${\log }^{2}n=\Omega (\log n)$。
$（7）2^n\ge 100n^2$,则$g(n)$是$f(n)$的下界，即$2^n=\Omega (100n^2)$。
$（8）2^n\le 3^n$,则$g(n)$是$f(n)$的上界，即$2^n=O(3^n)$。