异或(^)的含义与基本用法

异或的含义

异或(^)和与运算(&)、或运算(|)都是位运算，因为计算机的运算都是将数据转换成二进制来进行的，所以一般来说，位运算比加减乘除的算数运算快得多。异或的运算法则如下：

1 ^ 0 == 1
1 ^ 1 == 0
0 ^ 0 == 0

即相同为0，不同为1。

异或的运算性质

异或有几大运算性质：

交换律： a^b==ba
结合律： a^ba==a^ab
任何非0的数和0异或的结果都是它本身
任何数和自己本身异或的结果都为0

如果你看到这里，感觉上面列的运算法则和性质有所冲突的时候，请考虑进制不同的情况。本质上异或是在二进制层面上的，这是它的运算法则，当直观表现在十进制上的，才是它的运算性质。

在二进制层面上，异或的运算可以看成是无进位相加，举个例子

	1010110
  	1100011
 ^	0110101

相加的两个二进制数，从右往左数第二位上都是1,1+1本来应该进位1，本位变成0的，然后^运算，无进位，所以结果直接写成0。这样的理解在后续的运用中能更加形象的帮我们解释一些结果。

就此，异或的运算性质也概括完了，接下来让我们看看它的运用情况。

异或的运用

在需要交换两个变量的值时，你是否马上想到再设置一个中间变量来进行交换？那么如果我跟你说不用中间变量，两者可以直接交换呢？下面我们就用异或来实现

void swap(int a,int b)
{
	a=a^b;
	b=a^b;
	a=a^b;
}

这样三个格式一样的语句就完成了值的交换，是不是觉得很不可思议？下面我们来分析一下，加深对异或的理解。

在第一条语句结束后，分析一下a,b的值：a=a^b b=b;

在第二条语句结束后，分析一下：a不变，a=a^b 分析b我们先交换律，再结合律：b=b^a=b(a^b)；

这里我们对b的值进一步化简，因为性质——任何数跟它自己异或的结果都为0，所以b=a^0=a

最后分析第三条语句，a=a^b=(ab)^a，同理，a=b;

就此，我们完成了a,b值的交换。

但需要注意的是，这种方法其实是抖机灵的做法，它的可读性很差。同时使用它有一个隐藏的限制条件，即交换的两值在内存空间中并不能属于同一区域，如排序数组中元素的值，因为当它们为同一性质的东西，即两者完全相同时，使用异或将会使它们都归零。

下面我们来看两个有关异或的实际问题：

Q1：在一堆数中，只有一种数，它出现了奇数次，而其他种的数，都出现了偶数次。请找出出现了奇数次的这种数。

直接上代码：

  int arr[20];
    int i,a;
    for(i=0;i<20;i++)
    {
        a^=arr[i];
    }
    //a就是出现奇数次的数

为什么这么说？结合两点，第一点，异或的性质，任何数和它本身异或的结果都是0；第二点，根据题意，除了需要找的这个数以外，其他数都能找到和它自己相同的数两两配对变成0。最后可以化简成该数^0，答案浮出水面。

Q2：在一堆数中，有且仅有两种数，出现了奇数次，而其他种的数，都出现了偶数次，请找出出现了奇数次的这两种数。

上代码：

int main()
{  
    int a=0,b=0;//设出现奇数次的数为a,b
    int t=0,i;
    int rightone;//二进制下，从右往左的第一个1
    int arr[20];

    for( i=0;i<20;i++)
    {
        t^=arr[i];
    }
    //现在的t==a^b，这两个出现奇数次的数异或

    //因为t==a^b;
    //a!=b
    //所以t的二进制肯定有一位上是1
    rightone=t&(~t+1);
    //一个数与(&)上自己取反+1的数，结果得到这个数二进制下最右侧的1
    //并且我们知道，a和b两者在这一位上，只有一者位上是1，另一个一定是0.
    for(i=0;i<20;i++)
    {
        if(t^arr[i]==0)//将该最右位是1和0的区分开
        {
            a^=arr[i];//此时a等于一种奇数次数^一些出现过偶数次数且该位也是1的数
                      //而出现偶数次可以抵消，所以直接得到了第一个出现了奇数次的数
        }
    }
    b=t^a;//由此再得到b
}

以上有两个难点，第一是得到一个数二进制下最右侧的1所在的位置，为该数&(~该数+1)，即原码&补码，不明白的用几个二进制数试验即可，记住以后多可以拿来套用。

第二个是当我们用一个变量t异或了一轮数组后，得到了a^b，之后我们的第二轮异或，是有选择性的异或。如此便区分出了以下情况：