前言
对于数列题目中出现的形如 \(a_{n+1}=2\cdot a_n+3n+2\) 的，即\(a_{n+1}=f(n，a_n)\)，其构造变形方向如下：
假设\(a_{n+1}+A(n+1)+B=2(a_n+An+B)\)，解得\(A=3\)，\(B=5\)，
即\(a_{n+1}+3(n+1)+5=2(a_n+3n+5)\)，构造得到\(\{a_n+3n+5\}\)为等比数列[当然还需要验证\(a_1+3\times1+5\neq0\)]；
典例剖析
已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_{n+1}=2a_n+3n+1\)且\(a_1=1\)，求数列\(\{a_n\}\)的通项公式。
分析：设\(a_{n+1}+p(n+1)+q=2(a_n+pn+q)\)，打开整理得到，\(p=3\)，\(q=1\)，
整理都得到\(a_{n+1}+3(n+1)+1=2(a_n+3n+1)\)，
由首项\(a_1+3\cdot 1+1=5\neq 0\) ，故数列\(\{a_n+3n+1\}\)是首项为 \(5\)，公比为 \(2\) 的等比数列，
故\(a_n+3n+1=5\cdot 2^{n-1}\)，故\(a_n=5\cdot 2^{n-1}-3n-1(n\in N^*)\)。
反例提示
【2020 \(\cdot\) 全国卷Ⅲ】设数列 \(\{a_{n}\}\) 满足 \(a_{1}=3\)， \(a_{n+1}=3 a_{n}-4 n\).
(1). 计算 \(a_{2}\)， \(a_{3}\)， 猜想 \(\{a_{n}\}\) 的通项公式并加以证明；
解: (1) \(a_{2}=5\)， \(a_{3}=7\). 猜想 \(a_{n}=2 n+1\).
证明如下：由题目 \(a_{n+1}=3 a_{n}-4 n\)，借助待定系数法可得：
\[a_{n+1}-(2 n+3)=3\left[a_{n}-(2 n+1)\right] \]
\[a_{n}-(2 n+1)=3\left[a_{n-1}-(2 n-1)\right] \]
\[\cdots,\cdots \]
\[a_{3}-7=3(a_{2}-5) \]
\[a_{2}-5=3(a_{1}-3) \]
因为 \(a_{1}=3\)， 所以 \(a_{n}=2 n+1\).
(2)求数列 \(\{2^{n} a_{n}\}\) 的前 \(n\) 项和 \(S_{n}\).
解：由 (1) 得 \(2^{n} a_{n}=(2n+1)2^{n}\) ，
所以 \(S_{n}=3\times 2+5\times 2^{2}+7 \times 2^{3}+\cdots+(2 n+1) \times 2^{n}\). ①
从而 \(2S_{n}=3\times 2^{2}+5 \times 2^{3}+7 \times 2^{4}+\cdots+(2 n+1) \times 2^{n+1}\). ②
①-②得， \(-S_{n}=3 \times 2+2 \times 2^{2}+2 \times 2^{3}+\cdots+2 \times 2^{n}-(2 n+1) \times 2^{n+1}\)，
\(=6+2\times\cfrac{2^{2} \times(1-2^{n-1})}{1-2}-(2n+1)\cdot 2^{n+1}\)，
\(=6+2^{n+2}-8-(2n+1)\cdot 2^{n+1}=(1-2n) \cdot 2^{n+1}-2\)，
所以 \(S_{n}=(2 n-1) 2^{n+1}+2\).
