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伽马函数

天蓝Sea 2022-07-18 阅读 77

 

伽马函数_github

该函数由欧拉(22岁)在1729年得出。

 

实数域上的伽马函数:

伽马函数_github_02

伽马函数_github_03

 

由上式我们可以看出为什么会有伽马函数:为了把阶乘数列推广到实数上。

 

复数域上的伽马函数:

伽马函数_github_04

 

 常用性质:

Γ(x+1)=xΓ(x)

伽马函数_github_05


伽马函数_github_06

,B(a,b)称为第一型欧拉积分,伽马函数是第二型欧拉积分。

 

伽马分布:

伽马函数_github_07

余元公式:

伽马函数_github_08

伽马函数_github_09

对于想x>0 ,伽马函数是严格凸函数

 

伽马函数是亚纯函数,在复平面上,除了零和负整数点以外,它全部解析,而伽马函数在-k处的留数为:

伽马函数_github_10

 

当x取的数越大,Gamma 函数就越趋向于 Stirling 公式,所以当x足够大时,可以用Stirling 公式来计算Gamma 函数值。

伽马函数_github_11

 

Digamma函数:

伽马函数_github_12

 

伽马函数_github_13

,

伽马函数_github_14

是欧拉常数

 

黄世宇/Shiyu Huang's Personal Page:​​https://huangshiyu13.github.io/​​



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