线性基及例题 c++-CFANZ编程社区

*首先先介绍异或

1^1=0

1^0=1

0^1=1

0^0=0

对于数组a[1],a[2],a[3]，.......a[n],异或和

xor_sum=a[1]^a[2]^a[3]^.....^a[n];

再介绍线性基的一些基本性质：

1.可以通过异或线性基中的一些数得到原序列里面的任意一个数的异或；

2.原序列的任意子集异或和都能通过线性基里面的一些数异或得到；

3.线性基中的任意几个数的异或和不为0；

4.线性基里面的所有数异或得到原序列的子序列的最大异或和；

5.线性基里面的数的个数唯一，并且在满足1的情况下，线性基里数的个数是最少的。

线性基的构造：

vector<ull> B;
void insert(ull x)
{
    for(auto b:B)
        x=min(x,b^x);
    for(auto &b:B)
        b=min(b,b^x);
    if(x)
        B.push_back(x);
}

题型：

1.最大异或和：（LibreOJ #113）

给定由n个数组成的一个可重集，求一个集合 $T\subseteq S$ ，使 $T_1 xor T_2 xor ...xor T_{T.size}$ 最大

样例：

input：

5 2 8

output：

思路：参考性质4

ac代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define endl "\n"
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
ll n,m,k;
vector<ull> B;
void insert(ull x)
{
    for(auto b:B)
        x=min(x,b^x);
    for(auto &b:B)
        b=min(b,b^x);
    if(x)
        B.push_back(x);
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n;
    vector<ull> a(n);
    for(auto &x:a)
        cin>>x;
    for(auto x:a)
        insert(x);
    ull ans=0;
    for(auto x:B)
        ans^=x;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

2.k大异或和（LibreOJ #114）

题目描述

这是一道模板题。

给由个数组成的一个可重集，每次给定一个数，求一个集合 $T\subseteq S$ ，使得集合在的所有非空子集的不同的异或和中，其异或和 $T_1 xor T_2 xor ...xor T_{T.size}$ 是第小的。

$1\leqslant n,m\leqslant10^5,0\leqslant S_i\leqslant2^{50}$

输入格式

第一行一个数。
第二行个数，表示集合。
第三行一个数，表示询问次数。
第四行个数，表示每一次询问的。

输出格式

输出行，对应每一次询问的答案，第小的异或和。如果集合的所有非空子集中，不同的异或和数量不足，输出。

样例

输入

输出

思路，先将获得的线性基排序，再根据线性基的性质，将线性基从小到大看作是二进制从小到答案的每一位，设线性基内有个元素，若 m<n ,则最多有 2^m 种情况（线性基内异或得到的数与线性基外的数异或可以为0），若 m=n ,则最多有 $2^{m}-1$ 种情况（由性质3可知不可能通过异或得到0）

代码实现：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define endl "\n"
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
ll n,m,k;
vector<ull> B;
void insert(ull x)
{
    for(auto b:B)
        x=min(x,b^x);
    for(auto &b:B)
        b=min(b,b^x);
    if(x)
        B.push_back(x);
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n;
    vector<ull> a(n);
    for(auto &x:a)
        cin>>x;
    sort(a.begin(),a.end());
    for(auto x:a)
        insert(x);
    int bs=B.size();
    ll sum=pow(2,bs);
    sort(B.begin(),B.end());
    cin>>m;
    for(int v=0;v<m;v++)
    {
        ll x;
        cin>>x;
        if(x>sum||x<=0)
            cout<<-1<<endl;
        else
        {
            ll ans=0;
            int i=0;
            if(bs!=n)
                x--;
            while(x)
            {
                if(x%2==1)
                    ans^=B[i];
                x/=2;
                i++;
            }
            cout<<ans<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

洛谷 P4570 [BJWC2011]元素

题意：有序列a[1],a[2],.....a[n],每个数对应相应能量，求在子序列异或和最大的同时子序列中对应的能量和也最大

输入输出样例

输入 #1

输出 #1

对于全部的数据： $1\leqslant N\leqslant1000,1\leqslant Number_i\leqslant10^{18},1\leqslant Magic_i\leqslant10^{4}$

思路：（贪心+线性基）先将按能量从大到小排序，再构造线性基，若数字符合条件进入线性基，则 ans +=对应能量

具体代码如下

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define endl "\n"
#define f first
#define s second
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
ll n,m,k;
vector<ull> B;
int insert(ull x)
{
    for(auto b:B)
        x=min(x,b^x);
    for(auto &b:B)
        b=min(b,b^x);
    if(x)
    {
        B.push_back(x);
        return 1;
    }
    else
        return 0;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n;
    vector<pair<int,ull> >a(n);
    for(auto &x:a)
    {
        cin>>x.s>>x.f;
        x.f=-x.f;
    }
    sort(a.begin(),a.end());
    int ans=0;
    for(auto x:a)
    {
        if(insert(x.s)==1)
            ans-=x.f;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}