天梯赛L3-015 球队“食物链”（状态压缩、记忆化搜索）-CFANZ编程社区

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题目描述：

某国的足球联赛中有 $N$ 支参赛球队，编号从 $1$ 至 $N$ 。联赛采用主客场双循环赛制，参赛球队两两之间在双方主场各赛一场。

联赛战罢，结果已经尘埃落定。此时，联赛主席突发奇想，希望从中找出一条包含所有球队的“食物链”，来说明联赛的精彩程度。“食物链”为一个 $1$ 至 $N$ 的排列 { $T_1,T_2,\dots,T_N$ }，满足：球队 $T_1$ 战胜过球队 $T_2$ ，球队 $T_2$ 战胜过球队 $T_3$ ，⋯，球队 $T_{N−1}$ 战胜过球队 $T_N$ ，球队 $T_N$ 战胜过球队 $T_1$ 。

现在主席请你从联赛结果中找出“食物链”。若存在多条“食物链”，请找出字典序最小的。

输入格式：

输入第一行给出一个整数 $N$ （ $2 \le N \le 20$ ），为参赛球队数。随后 $N$ 行，每行 $N$ 个字符，给出了 $N \times N$ 的联赛结果表，其中第 $i$ 行第 $j$ 列的字符为球队 $i$ 在主场对阵球队 $j$ 的比赛结果： $W$ 表示球队 $i$ 战胜球队 $j$ ， $L$ 表示球队 $i$ 负于球队 $j$ ， $D$ 表示两队打平， $-$ 表示无效（当 $i=j$ 时）。输入中无多余空格。

输出格式：

按题目要求找到“食物链” $T_1,T_2, ⋯, T_N$ ，将这 $N$ 个数依次输出在一行上，数字间以 $1$ 个空格分隔，行的首尾不得有多余空格。若不存在“食物链”，输出 “No Solution”。

输入样例1：

5
-LWDW
W-LDW
WW-LW
DWW-W
DDLW-

输出样例1：

1 3 5 4 2

输入样例2：

5
-WDDW
D-DWL
DD-DW
DDW-D
DDDD-

输出样例2：

No Solution

思路：

直接使用 $dfs$ 复杂度为 O( $n!$ )。会有一个测试点超时。我用了记忆化的方法，将 “当前搜索位置相同、且剩余未搜索的结点相同” 的状态看做是等价的。

例如：有 $10$ 支球队，如果已访问路线为 $1,2,3,4$ 并且这条路线往下搜没有可行解。那么就认为当已访问路线为 $1,3,2,4$ 时，继续往下搜也不可能有可行解。

这样，等价的状态只搜索一次。

把已访问的路径状态压缩为 $20$ 位二进制；当前位置最大取值 $20$ ，用 $5$ 位二进制来表示。然后进行记忆化搜索。最坏情况就是所有的状态都搜索过一次，复杂度 O( $n2^n$ )。

有很多题解用了剪枝来做这道题，剪枝条件为 “当剩余队伍中不存在战胜第一支队伍，那么这条线就没必要继续深入”。显然这样的方法复杂度没有保证，有很多数据可以卡掉这样的程序：

20
-WWWWWWWWWWWWWWWWWWW
W-WWWWWWWWWWWWWWWWWD
WW-WWWWWWWWWWWWWWWWD
WWW-WWWWWWWWWWWWWWWD
WWWW-WWWWWWWWWWWWWWD
WWWWW-WWWWWWWWWWWWWD
WWWWWW-WWWWWWWWWWWWD
WWWWWWW-WWWWWWWWWWWD
WWWWWWWW-WWWWWWWWWWD
WWWWWWWWW-WWWWWWWWWD
WWWWWWWWWW-WWWWWWWWD
WWWWWWWWWWW-WWWWWWWD
WWWWWWWWWWWW-WWWWWWD
WWWWWWWWWWWWW-WWWWWD
WWWWWWWWWWWWWW-WWWWD
WWWWWWWWWWWWWWW-WWWD
WWWWWWWWWWWWWWWW-WWD
WWWWWWWWWWWWWWWWW-WD
WWWWWWWWWWWWWWWWWW-D
DWDDDDDDDDDDDDDDDDD-

这组数据的输出为：

1 20 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

上面的剪枝方法不能很好地处理这样的数据。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=30;
char mp[N][N];
int n,path[N],vis;
unordered_set<int> st;

bool dfs(int x,int step){
	vis^=(1<<x);
	if(st.count(vis|(x<<21))){ vis^=(1<<x); return false; }
	st.insert(vis|(x<<21));
	path[step]=x;
	if(step==n&&(mp[x][1]=='W'||mp[1][x]=='L')) return true;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!(vis&(1<<i))&&(mp[x][i]=='W'||mp[i][x]=='L')){
			if(dfs(i,step+1)) return true;
		}
	}
	vis^=(1<<x);
	return false;
}

int main(){
	(cin>>n).get();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++)
			cin>>mp[i][j];
		if(i!=n) cin.get();
	}
	bool flag=dfs(1,1);
	if(flag) for(int i=1;i<=n;i++) cout<<path[i]<<" \n"[i==n];
	else cout<<"No Solution\n";
}