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OI模板-gcd/逆元/同余

ixiaoyang8 2022-03-22 阅读 31
算法

OI模板-gcd/逆元/同余

long long!

gcd

inline int gcd(int a, int b){ return (b ? gcd(b, a%b) : a); }

exgcd

求解 a x + b y = 1 ax + by = 1 ax+by=1 的可行解。

inline void exgcd(int &x, int &y, int a, int b){
	if(!b){ x = 1, y = 0; return; }
	exgcd(x, y, b, a%b);
	int z = x; x = y; y = z - a / b * y;
}

对于 a x ≡ 1 (   m o d     b ) ax\equiv1(\bmod~b) ax1(mod b) 的形式,可以转化为 a x + b y = 1 ax+by=1 ax+by=1 进行求解,解出特解 x 0 x_0 x0,通解即为 x 0 + k b x_0+kb x0+kb,最小正整数解 x m i n Z + = ( x 0   m o d   b + b ) m o d    b x_{min\Bbb{Z^+}}=(x_0\bmod b+b)\mod b xminZ+=(x0modb+b)modb

裴蜀定理

a x + b y = c ax+by=c ax+by=c x , y x,y x,y 为正整数)成立的充要条件是 g c d ( a , b ) ∣ c gcd(a,b)|c gcd(a,b)c显然

有理数取余

求解 x ≡ a b   (   m o d     p ) x \equiv \displaystyle\frac ab~(\bmod~p) xba (mod p)

  • 两边同乘 b b b b x ≡ a   (   m o d     p ) bx \equiv a~(\bmod~p) bxa (mod p)
  • exgcd \texttt{exgcd} exgcd 求得一 x 1 x_1 x1 使得 b x 1 ≡ 1   (   m o d     p ) bx_1 \equiv 1~(\bmod~p) bx11 (mod p)
  • 所以 b × ( a x 1 ) ≡ a   (   m o d     p ) b\times(ax_1) \equiv a~(\bmod~p) b×(ax1)a (mod p)
  • 此时 a x 1   m o d   p ax_1 \bmod p ax1modp 即为答案。
  • (当 b   m o d   p = 0 b \bmod p = 0 bmodp=0 时无解)
int getmod(int a, int b, int p){//要满足 a < p, b < p(不满足取mod)
	if(b % p == 0) return -1;
	int x, y; exgcd(x, y, b, p);
	long long ans = a * (long long)((x + p) % p) % p;
	return (int)ans;
}

逆元

费马小定理

a x ≡ 1   (   m o d     p ) ax\equiv1~(\bmod~p) ax1 (mod p) x ≡ a p − 2   (   m o d     p ) x\equiv a^{p-2}~(\bmod~p) xap2 (mod p),快速幂求解。(仅限 p p p 为质数)

exgcd

a x ≡ 1   (   m o d     p ) ax\equiv1~(\bmod~p) ax1 (mod p) 则有整数 k k k 使得 a x + p k = 1 ax+pk=1 ax+pk=1,exgcd 求解。(仅限 x ⊥ p x\perp p xp 但这个不满足的话就没有逆元了

int getinv(int x, int p){
	int a, k;
	exgcd(a, k, x, p);
	return (a % p + p) % p;
}

线性递推 gugugu

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