SymPy - 极限Limit

这一部分是作者添加的微积分部分内容, 具体也可以参考作者的另一篇博文

Python上的高等数学实验_leotzf的博客-CSDN博客

计算一元函数极限

from sympy import *
from sympy.abc import x,y
limit((1-cos(x))/x**2,x,0)

输出结果

Limit命令默认计算右极限。如果要求左极限，使用dir='-'参数。

from sympy.abc import x
limit(abs(x)/x,x,0,dir='-')
limit(abs(x)/x,x,0,dir='+')

输出结果

-1

1
当然要计算右极限时则把减号改成加号即可。

SymPy - 导数Derivative

函数的导数就是因变量相对于自变量的瞬间变化率. 等价于寻找函数在某个点的切线斜率. 我们可以使用SymPy包中的函数diff()计算数学表达式(或函数)的导数. 语法如下:

diff(表达式, 变量)

>>> from sympy import diff, sin, exp 
>>> from sympy.abc import x,y 
>>> expr=x*sin(x*x)+1 >>> expr

上述代码输出一个等价于以下结果的表达式 −

$x\sin(x^2) + 1$

>>> diff(expr,x)

上述代码输出一个等价于以下结果的表达式 −

$2x^2\cos(x^2) + \sin(x^2)$

>>> diff(exp(x**2),x)

上述代码输出一个等价于以下结果的表达式 −

$2xe^{x^2}$

为了计算高阶导数, 传递这个变量多次即可, 要求几阶导数, 就传输几次, 或者在变量之后直接写上求导的阶数也可以.

>>> diff(x**4,x,3)

上述代码输出一个等价于以下结果的表达式 −

24x

>>> for i in range(1,4): print (diff(x**4,x,i))

上述代码输出一个等价于以下结果的表达式 −

4*x**3

12*x**2

24*x

也可以直接对一个表达式调用函数 diff(). 工作方式类似于函数 diff().

>>> expr=x*sin(x*x)+1 
>>> expr.diff(x)

上述代码输出一个等价于以下结果的表达式 −

$2x^2\cos(x^2) + \sin(x^2)$

使用 Derivative 类可以创建一个未计算的导数表达式对象. 它和函数 diff() 的语法相同. 要对未计算的导数对象执行计算, 使用 doit 方法.

>>> from sympy import Derivative 
>>> d=Derivative(expr) 
>>> d

上述代码输出一个等价于以下结果的表达式 −

$\frac{d}{dx}(x\sin(x^2)+1)$

>>> d.doit()

上述代码输出一个等价于以下结果的表达式 −

$2x^2\cos(x^2) + \sin(x^2)$

SymPy - 积分Integration

在 SymPy 包中包含积分模块. 其中实现了计算表达式的不定积分和定积分的各种积分法. 函数 integrate() 可用于计算不定积分和定积分. 为计算一个不定积分, 仅仅需要在表达式之后传递一个变量. 例如 −

integrate(f, x)

为计算定积分, 按如下方式传递参数 −

(积分变量integration_variable, 积分下限lower_limit, 积分上限upper_limit)

>>> from sympy import * 
>>> x,y = symbols('x y') 
>>> expr=x**2 + x + 1 
>>> integrate(expr, x)

上述代码输出一个等价于以下结果的表达式 −

$\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x$

>>> expr=sin(x)*tan(x) 
>>> expr 
>>> integrate(expr,x)

上述代码输出一个等价于以下结果的表达式 −

$-\frac{\log(\sin(x) - 1)}{2} + \frac{\log(\sin(x) + 1)}{2} - \sin(x)$

定积分的例子如下 −

>>> expr=exp(-x**2) 
>>> integrate(expr,(x,0,oo) )

上述代码输出一个等价于以下结果的表达式 −

$\frac{\sqrt\pi}{2}$

可以通过传递多个积分限的元组执行累次积分的计算. 下面给出一个示例 −

>>> expr=exp(-x**2 - y**2)
>>> integrate(expr,(x,0,oo),(y,0,oo))

上述代码输出一个等价于以下结果的表达式 −

$\frac{\pi}{4}$

你也可以创建未计算的积分对象 Integral, 要得到计算结果调用对象的 doit() 方法.

>>> expr = Integral(log(x)**2, x) 
>>> expr

上述代码输出一个等价于以下结果的表达式 −

$\int \mathrm\log(x)^2 \mathrm{d}x$

>>> expr.doit()

上述代码输出一个等价于以下结果的表达式 −

$x\log(x)^2 - 2x\log(x) + 2x$

积分变换Integral Transforms

SymPy 支持如下所列的各种积分变换 −

拉普拉斯变换laplace_transform
傅里叶变换fourier_transform
正弦变换sine_transform
余弦变换cosine_transform
汉克尔变换hankel_transform

这些函数定义在模块 sympy.integrals.transforms 中. 下面的例子分别计算傅里叶变换和拉普拉斯变换.

例 1

>>> from sympy import fourier_transform, exp 
>>> from sympy.abc import x, k 
>>> expr=exp(-x**2) 
>>> fourier_transform(expr, x, k)

在Python 的shell中执行上述命令将产生如下结果 −

sqrt(pi)*exp(-pi**2*k**2)

这等价于 −

$\sqrt\pi * e^{\pi^2k^2}$

例 2

>>> from sympy.integrals import laplace_transform 
>>> from sympy.abc import t, s, a 
>>> laplace_transform(t**a, t, s)

在Python 的shell中执行上述命令将产生如下结果 −

(s**(-a)*gamma(a + 1)/s, 0, re(a) > -1)

Sympy简单教程(4)

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SymPy - 积分Integration

积分变换Integral Transforms