数据结构与算法-树

树

• 🎈1.树和二叉树
• 🎈2.树
• • 🔭2.1树的定义
  • 🔭2.2树的4种表示方法
  • 🔭2.3树的基本术语
  • 🔭2.4树的抽象数据类型定义
• 🎈3.二叉树
• • 🔭3.1二叉树的定义
  • 🔭3.2二叉树的抽象数据类型定义
  • 🔭3.3满二叉树
  • 🔭3.4完全二叉树
  • 🔭3.5完全二叉树的特点
  • 🔭3.6二叉树的性质
  • 🔭3.7二叉树的存储结构
  • 🔭3.8完全二叉树的顺序存储
  • 🔭3.9一般二叉树的存储结构
  • 🔭3.10二叉树的链式存储结构
• 🎈4.二叉树的类定义及其实现
• • 🔭4.1二叉树的类定义
  • 🔭4.2二叉树的实现
  • • 📖4.2.1创建二叉树
    • 📖4.2.2计算二叉树的高度
    • 📖4.2.3计算二叉树的树叶数
    • 📖4.2.4查找二叉树

🎈1.树和二叉树

🎈2.树

🔭2.1树的定义

🔭2.2树的4种表示方法

🔭2.3树的基本术语

• 结点：树中每个元素对应一个结点。每个结点包含一个数据元素及若干指向子树的分支。例如，图中的树有11个结点，结点D包含3个分支。
• 结点的度：结点所拥有的子树的个数称为结点的度。例如，结点A和D的度均为3，结点B的度为2，结点C的度为1，结点F的度为0。
• 叶子结点：度为0的结点称为叶子结点（或称树叶），又称终端结点。例如，上图所示，E,F,G,H,I,K都是叶子结点。
• 分支结点：度不为0的结点称为分支结点，又称非终端结点。例如，上图所示的树，A,B,C,D,J都是分支结点。
• 树的度：树中所有结点的最大度数称为树的度。例如，图所示的树的度为3.
• 双亲结点：若结点X有孩子，则X为孩子的双亲结点，简称双亲。例如，在图所示的树中，结点H,I,J的双亲是D,根结点A没有双亲，树中只有根结点没有双亲。
• 孩子结点：若结点X由子树，则子树的根结点即为结点X的孩子结点，简称孩子。例如，结点D有三个孩子H,I,J。
• 兄弟结点：同一双亲的孩子结点称为兄弟结点，简称兄弟。例如，结点H,I,J为兄弟。
• 堂兄弟结点：在树中的层次相同，但双亲不同的结点称为堂兄弟，简称堂兄。例如，结点F,G,H为堂兄弟。
• 祖先结点：从根结点到结点X所经过分支上的所有结点，都称为X的祖先结点，简称祖先。例如，K的祖先为A,D,J
• 子孙结点：结点X的孩子，以及这些孩子的孩子都是X的子孙结点。例如，结点D的子孙为H,I,J,K
• 结点的层次：根结点的层次为1，根结点的孩子的层次为2，根结点的孩子的孩子的层次为3，依次类推。
• 树的深度：树中结点的最大层次称为树的深度，也称树高。空树的深度为0，只有一个根结点的树的深度为1，图所示的树的深度为4.
• 路径：从树的某个结点X到其子孙结点Y所经过的路线叫做路径，路径上经过的边的数称为路径长度。由于树中无回路，所以树的路径是唯一的。如图所示的树中，从A到结点K的路径是A,D,J,K,路径长度为3.
• 森林：m(m>=)棵互不相交的树构成的集合称之为森林。

🔭2.4树的抽象数据类型定义

ADT Tree{
数据对象D:D为性质相同的数据元素的集合
数据关系R:
若D为空集，则称为空树。
若D仅有一个数据元素，则R=空集，否则R！=空集。
（1）.在D中存在唯一的称为根的数据元素root,它在关系R下无前驱。
（2）.存在D-{root}的一个划分{D1,D2,...,Dm}（m>0）,且对于（1<=i<=m），存在唯一的数据元素Xi属于Di,有(root,Xi)属于R.
（3）.对应于D-{root}的一个划分，r-{(root,x1),(root,x2),...,(root,Xm)}存在唯一的一个划分{R1,R2,...,Rm}(m>0),对于（1<=i<=m）,Ri是Di上的二元关系，（xi,Ri）（i=1,2,...,m）是一棵符合本定义的树，称为根root的子树。

基本操作：
InitTree(&t):构造一棵空树
DestroyTree(&t):销毁一棵树
Parent(t,e):求结点e的双亲结点
Sons(t,e):求结点e有所有孩子结点
LeftChild(t,e):返回结点e的右兄弟最左孩子
RightSibling(t,e):返回结点e的右兄弟结点
TraraverseTree(t,visit()):以visit()函数访问树中每个结点
DepthTree(t):返回树的深度
}ADT Tree

🎈3.二叉树

🔭3.1二叉树的定义

🔭3.2二叉树的抽象数据类型定义

🔭3.3满二叉树

🔭3.4完全二叉树

🔭3.5完全二叉树的特点

1. 叶子结点只能在第k层和第k-1层上出现。
2. 对于任意结点，若其右子树的深度为l,则其左子树的深度为l或l+1。
3. 度为1的结点数为0或1。当结点的总数为奇数时，度为1的结点数为0，当结点的总数为偶数时，度为1的结点数为1.

🔭3.6二叉树的性质

1. 二叉树的第i层上至多有2^i-1（i>=1）个结点。
2. 深度为k的二叉树最多有2^k-1（k>=1）个结点。
3. 对于任何一棵二叉树，如果其叶子结点数为n0,度为2的结点数为n2，则n0=n2+1.
   性质3推论：对于任何一棵k叉树，如果叶子结点数为n0，度为1,2，...k的结点数分别为n1,n2,...,nk,则n0=n2+2n3+3n4+...(k-1)nk+1.

4. 一棵具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1(以2为底，n的对数)。
5. 

🔭3.7二叉树的存储结构

📝二叉树的顺序存储结构类型定义如下：

#define MaxSize 100  //二叉树的最大存储容量
typedef ElemType SqBiTree[MaxSize]  //用数组存储二叉树的数据元素
SqBiTree bt;

🔭3.8完全二叉树的顺序存储

🔭3.9一般二叉树的存储结构

🔭3.10二叉树的链式存储结构

二叉链表的结点类型定义:
typedef struct BitNode
{
     ElemType data;//数据元素信息
     BitNode *lchild;//指向左孩子结点
     BitNode *rchild;//指向右孩子结点
}BitNode;

🎈4.二叉树的类定义及其实现

🔭4.1二叉树的类定义

#include <iostream>
using namespace std;
typedef struct BitNode
{
	char data;
	BitNode* lchild;
	BitNode* rchild;
}BitNode;
class BiTree
{
private:
	BitNode* bt;
	void Rcreate(BitNode*& t);//递归创建二叉树
	void PreTraverse(BitNode* t);//先序遍历递归函数
	void InTraverse(BitNode* t);//中序遍历递归函数
	void PostTraverse(BitNode* t);//后序遍历递归函数
	int BTNodeDepth(BitNode* t);//计算二叉树的树高递归函数
	int BTNodeLeaf(BitNode* t);//计算二叉树树叶数递归函数
	BitNode* SearchNode(BitNode* t, char x);//查找值等于x的结点递归函数
public:
	BiTree()
	{
		bt = NULL;//创建空树
	}
	void RcreateBiTree();//创建二叉树
	void PreTraverseBiTree();//先序遍历二叉树
	void InTraverse();//中序遍历二叉树
	void PostTraverse();//后序遍历二叉树
	int BTNodeDepthBiTree();//计算二叉树的树高
	int BTNodeLeafBiTree();//计算二叉树的叶子数
	BitNode* SearchNodeBit(char x);//查找值等于x的结点
};

🔭4.2二叉树的实现

📖4.2.1创建二叉树

void BiTree::Rcreate(BitNode*& t)
{
	char ch;
	cin >> ch;
	if (ch == '.')
		t = NULL;
	else
	{
		t = new BitNode;//申请空间
		t->data = ch;
		Rcreate(t->lchild);//递归创建左子树
		Rcreate(t->rchild);//递归创建右子树
	}
}
void BiTree::RcreateBiTree()
{
	BitNode* t;
	Rcreate(t);//递归创建二叉树
	bt = t;//将根结点指针赋值给私有成员bt
}

📖4.2.2计算二叉树的高度

int BiTree::BTNodeDepth(BitNode* t)
{
	if (t == NULL)
		return 0;
	else
	{
		int m = 1 + BTNodeDepth(t->lchild);//计算左子树树高度
		int n = 1 + BTNodeDepth(t->rchild);//计算右子树树高度
		if (m >= n)//比较左右子树高度
			return m;
		else
			return n;
	}
}
int BiTree::BTNodeDepthBiTree()
{
	//计算二叉树的高度
	BitNode* p = bt;
	return BTNodeDepth(p);//调用计算二叉树高度的递归函数
}

📖4.2.3计算二叉树的树叶数

int BiTree::BTNodeLeaf(BitNode* t)
{
	//递归算法计算二叉树的树叶数
	if (t == NULL)
		return 0;
	else
	{
		int m = BTNodeLeaf(t->lchild);
		//计算左子树的树叶数
		int n = BTNodeLeaf(t->rchild);
		//计算右子树的树叶数
		if (m + n == 0)
			return 1;
		else
			return m + n;
	}
}
int BiTree::BTNodeLeafBiTree()
{
	//计算二叉树的树叶数
	BitNode* p = bt;//读取私有成员指针bt
	return BTNodeLeaf(p);//调用二叉树的树叶数的递归函数
}

📖4.2.4查找二叉树

BitNode* BiTree::SearchNode(BitNode* t, char x)
{
	BitNode* p;
	if (t == NULL)
		return NULL;
	if (t->data == x)
		return t;
	else
	{
		p = SearchNode(t->lchild,x);//递归查找左子树
		if (p != NULL)
			return p;
		else
			return SearchNode(t->rchild, x);//递归查找右子树
	}
}
BitNode* BiTree::SearchNodeBit(char x)
{
	BitNode* p = bt;
	return SearchNode(p, x);
}