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二叉搜索树
二叉搜索树又称二叉排序树,它要么是一棵空树,要么是具有以下性质的二叉树:
- 若它的左子树不为空,则左子树上所有结点的值都小于根节点的值
- 若它的右子树不为空,则右子树上所有结点的值都大于根节点的值
- 它的左右子树也分别为二叉搜索树
如图就是一棵二叉搜索树.
下面,我们来实现几个二叉搜索树的操作.
操作-查找
查找val是否在当前搜索树当中,根据二叉搜索树的特点,如果根节点的val == 查找val,则直接返回根节点;如果根节点的val > 查找val,就去根节点的左子树里去找;如果根节点的val < 查找的val,就去根节点的右子树里去找,以此类推,没找到就返回null.
public TreeNode search(int val){
TreeNode cur = root;
while (cur != null){
if (cur.val < val){
cur = cur.right;
}else if (cur.val > val){
cur = cur.left;
}else {
return cur;
}
}
return null;
}操作-插入
public boolean insert(int key){
//根节点为空,就直接插入到根节点的位置
if (root == null){
root = new TreeNode(key);
return true;
}
//parent用来记录cur的prev
TreeNode parent = null;
TreeNode cur = root;
//cur==null就说明要进行插入了
while(cur != null){
//当前节点的值大于key,就往当前节点的左子树走
if (cur.val > key){
parent = cur;
cur = cur.left;
}else if (cur.val < key){
parent = cur;
cur = cur.right;
}else {
//插入相同的元素直接返回false
return false;
}
}
//代码走到这里cur==null
//此时比较key和parent的val大小来判断
//往左子树插入还是右子树插入
TreeNode node = new TreeNode(key);
if (parent.val > key){
parent.left = node;
}else {
parent.right = node;
}
return true;
}操作-删除
删除的逻辑比较复杂,分为多种情况.
设待删除的节点为cur,待删除的双亲结点为parent.
1.cur.left == null
- cur是root,则root = cur.right
- cur不是root,cur是parent的left.则parent.left=cur.right
- cur不是root,cur是parent.right,则parent.right=cur.right
2.cur.right == null
- cur是root,则root = cur.left
- cur不是root,cur是parent的right,则parent.right=cur.left
- cur不是root,cur是parent的left,则parent.left = cur.left
3.cur.left!=null && cur.right!=null
此种情况,要使用替罪羊法进行删除.即在它的右子树中找到最左边的结点(cur右边最小的结点)或者是在它的左子树中找到最右边的结点(cur左边最大的结点),用找到的值来填补到待删除结点中,此时问题就转换为删除替罪结点了.
比如要删除12.我们要找到9或者是13来代替12,然后在将9或者13删除掉.
因为9或者13的特殊性,9没有右子树,13没有左子树,所有9或者13的删除就可以使用前两种情况.
public void remove(int key){
TreeNode parent = null;
TreeNode cur = root;
while(cur != null){
if (cur.val == key){
removeNode(parent,cur);
return;
}else if (cur.val < key){
parent = cur;
cur = cur.right;
}else {
parent = cur;
cur = cur.left;
}
}
}
private void removeNode(TreeNode parent,TreeNode cur){
if (cur.left == null){
if (cur == root){
root = cur.right;
}else if (cur == parent.left){
parent.left = cur.right;
}else {
parent.right = cur.right;
}
}else if (cur.right == null){
if(cur == root) {
root = cur.left;
} else if (cur == parent.left) {
parent.left = cur.left;
}else {
parent.right = cur.left;
}
}else {
TreeNode target = cur.right;
TreeNode targetParent = cur;
while (target.left != null){
targetParent = target;
target = target.left;
}
cur.val = target.val;
if (targetParent.left == target){
targetParent.left = target.right;
}else {
//待删除节点的右边可能没有左子树
//此时cur.right就是替罪羊
targetParent.right = target.right;
}
}
}性能分析
最优情况下,二叉搜索树为完全二叉树,其平均比较次数为logN
最坏情况下,二叉搜索树退化为单支树,其平均比较次数为N/2
