动态规划01背包解题思路

题目

有n件物品和一个最多能背重量为 w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

解题思路

本题可以采用动态规划的方式来求解，首先第一步就是线确定 dp 数组。

我们用 dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。那么可以有俩种方式来推导出 dp[i][j]，即不在背包中放物品i和在背包中放物品i。

• 不放物品i: 由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i时的最大价值，其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]，所以被背包内的价值依然和前面相同。
• 放物品i: 由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] ，就是背包放物品i得到的最大价值。

接下来初始化dp数组：

当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小；当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。所以初始化的代码为：

for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}

然后确定便利顺序，本题先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，代码如下：

// weight数组的大小 就是物品个数
for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
    for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

代码实现

public static void testweightbagproblem(int[] weight, int[] value, int{
        int wlen = weight.length, value0 = 0;
        //定义dp数组：dp[i][j]表示背包容量为j时，前i个物品能获得的最大价值
        int[][] dp = new int[wlen + 1][bagsize + 1];
        //初始化：背包容量为0时，能获得的价值都为0
        for (int i = 0; i <= wlen; i++){
            dp[i][0] = value0;
        }
        //遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包容量
        for (int i = 1; i <= wlen; i++){
            for (int j = 1; j <= bagsize; j++){
                if (j < weight[i - 1]){
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }else{
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i - 1]] + value[i - 1]);
                }
            }
        }
        //打印dp数组
        for (int i = 0; i <= wlen; i++){
            for (int j = 0; j <= bagsize; j++){
                System.out.print(dp[i][j] + " ");
            }
            System.out.print("\n");
        }
    }

我是杰少