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线性代数入门

线性代数（Linear Algebra）是数学的重要分支之一，广泛应用于工程、计算机科学、物理学、经济学等领域。它主要研究向量、矩阵及其在空间中的变换。对于程序员来说，掌握线性代数的基础知识能够帮助更好地理解数据处理、机器学习等应用中的数学原理。本文将为你介绍线性代数的基本概念和核心内容。

一、基本概念

1. 向量（Vector）

向量是线性代数的核心元素，它可以看作一个有序数列。向量可以用来表示几何中的点、物理中的力等。向量通常用小写字母表示，如 ( \mathbf{v} ) 表示一个向量：
[ \mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \ v_2 \ \vdots \ v_n \end{bmatrix} ]

其中，( v_1, v_2, \dots, v_n ) 是向量的分量。向量的维度由其分量的个数决定。例如，三维向量 ( \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{bmatrix} ) 有三个分量，属于三维空间。

2. 矩阵（Matrix）

矩阵是一个二维数组，由行（row）和列（column）组成。矩阵可以看作是多个向量的组合，广泛用于线性变换、方程求解等。矩阵通常用大写字母表示，如矩阵 ( A )：
[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} ]

矩阵中的每个元素 ( a_{ij} ) 表示矩阵第 ( i ) 行、第 ( j ) 列的值。例如，矩阵 ( A ) 是一个 ( 2 \times 2 ) 矩阵，因为它有 2 行和 2 列。

3. 标量（Scalar）

标量是一个简单的数，可以是实数或复数。标量用于缩放向量或矩阵中的元素。举例来说，给定一个向量 ( \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 \ 3 \end{bmatrix} ) 和标量 ( c = 2 )，标量与向量的乘法 ( c\mathbf{v} ) 为：
[ c\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 \times 2 \ 2 \times 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \ 6 \end{bmatrix} ]

二、线性代数的核心运算

1. 向量加法

向量加法是指两个向量对应分量的逐项相加。假设 ( \mathbf{v_1} ) 和 ( \mathbf{v_2} ) 为两个向量：
[ \mathbf{v_1} = \begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix}, \mathbf{v_2} = \begin{bmatrix} 3 \ 4 \end{bmatrix} ]

向量加法 ( \mathbf{v_1} + \mathbf{v_2} ) 为：
[ \mathbf{v_1} + \mathbf{v_2} = \begin{bmatrix} 1 + 3 \ 2 + 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \ 6 \end{bmatrix} ]

2. 矩阵乘法

矩阵乘法是线性代数中最重要的运算之一。两个矩阵相乘时，遵循行乘列的规则。假设矩阵 ( A ) 和 ( B ) 为：
[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{bmatrix} ]

矩阵 ( A \times B ) 的结果是：
[
A \times B = \begin{bmatrix} 1 \times 5 + 2 \times 7 & 1 \times 6 + 2 \times 8 \ 3 \times 5 + 4 \times 7 & 3 \times 6 + 4 \times 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \ 43 & 50 \end{bmatrix}
]

3. 点积（Dot Product）

向量的点积是两个向量对应分量的乘积之和。给定两个向量 ( \mathbf{v_1} ) 和 ( \mathbf{v_2} )：
[ \mathbf{v_1} = \begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix}, \mathbf{v_2} = \begin{bmatrix} 3 \ 4 \end{bmatrix} ]

它们的点积为：
[ \mathbf{v_1} \cdot \mathbf{v_2} = 1 \times 3 + 2 \times 4 = 3 + 8 = 11 ]

点积是计算向量夹角和向量相似度的基础运算。