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最良心的splay学习教程

陆公子521 2022-11-14 阅读 65
数据结构splay伸展树平衡树子树Linux系统/运维


预备知识

​​二叉查找树​​Treap
如果你不大想看那么长的文章只想尽快入手的话
那就先往下看吧
保证对小白友好（）

首先
也是一种二叉查找树
满足左子树上所有节点的值都小于根节点的值
右子树上所有节点的值都大于根节点的值
上面两条性质是最重要的
就是因为这两条性质才衍生出的更稳定的各类平衡树

那么，其中之一的有什么特点呢？

，百度翻译一下可以知道

最良心的splay学习教程_伸展树_06


呃

我们这里换一个更恰当的词来形容它

伸展

所以中文名就叫伸展树

它是对二叉搜索树的一种改进

因为二叉搜索树各类操作的复杂度可以被一条链卡成

所以聪明的人们就想出了优化的许多办法

通过各类操作让这个链变成的深度

虽然并不能保证树是绝对平衡的

但是它的各类操作的复杂度可以保持在均摊

大大滴优化

s p l a y splay splay的基本操作

作为一种平衡树
维持平衡的主要操作就是旋转
旋转的同时保持它作为二叉查找树的性质不变
的优点就是使被查询多的条目更接近树根
这样查询的时候就会提高效率
下面着重讲的旋转（准确来讲叫伸展）
的旋转方式是根据下面的因素决定的

  1. 节点是父节点的左孩子还是右孩子
  2. 节点是不是根节点，如果不是根节点
  3. 节点是父节点的左孩子还是右孩子

可以依次分为下面种旋转（网上都这么叫，我也觉得挺形象）

Zig

当为整棵树的根节点时

进行操作

当是的左孩子时，对右旋

当是的右孩子时，对左旋

如果对左旋和右旋不了解的建议先去看看文章开头的超链接

（、、为三棵子树）

我们称这种旋转为单旋转

最良心的splay学习教程_splay_33


旋转后变成这个样子

最良心的splay学习教程_平衡树_34

Zig-Zig

当不是根节点，且和同为左孩子或右孩子时
进行操作
当和同为左孩子时，依次将和右旋
当和同为右孩子时，依次将和左旋
我们称这种旋转为一字形旋转

比如说下面这种情况

要依次将和右旋（顺序一定不能错）

最良心的splay学习教程_伸展树_49


旋转一次之后变成这个样子

最良心的splay学习教程_数据结构_50


再旋转一次后变成这个样子

最良心的splay学习教程_子树_51

Zig-Zag

当不是根节点，且和不同为左孩子或右孩子时

进行操作。

当为左孩子，为右孩子时，将左旋后再右旋

当为右孩子，为左孩子时，将右旋后再左旋

至于为什么很明显

与上面一对比就知道了

我们称这种旋转为之字形旋转

最良心的splay学习教程_数据结构_62


旋转两次之后就变成了这个样子

最良心的splay学习教程_伸展树_63

总结

这三种旋转都是由基本的左旋和右旋组成的
实现比较简单

具体实现

下面会多次提到“记得加引用”
这太重要了！！！
别嫌烦！！！
如果不加&你做的一切都是白做
调很长时间调不出来很可能就是因为它！
还有，
个人觉得指针版的好理解

结构体初始化

struct node *null; //自己定义所谓的“空指针”，避免出现野指针
struct node {
    node *ch[2]; //这里用数组是为了方便访问相反的儿子，^即可
    int same, val, siz; //分别是相同节点的个数，权值，子树大小
    int whetherv(int v) { //返回要寻找值为v的元素该向左走还是向右走
        if (v == val) return -1;
        else return v < val ? 0 : 1; //0向左走
    }
    int whetherk(int k) { //返回要寻找第k小元素该向左走还是向右走
        if (k <= ch[0]->siz) return 0; //向左走
        else if (k <= ch[0]->siz + same) return -1; //找着了
        else return 1;
    }
    void update() { //更新子树大小
        siz = same + ch[0]->siz + ch[1]->siz;
    }
    node(int x) : same(1), val(x), siz(1) { //用构造函数初始化
        ch[0] = ch[1] = null;
    }
} *root; //定义根节点指针
#define ND node* //宏定义一下方便下面引用

当然还要初始化

void init() {
    null = new node(0);
    root = null->ch[0] = null->ch[1] = null;
    null->siz = null->same = 0;
}

这个很明显
只要明白了左旋和右旋就看得懂
手动模拟一下也可以
指针还是很好理解的
别忘加引用

void rotate(ND &now, int l) { //l=0左旋，别忘加引用
    ND x = now->ch[l ^ 1];
    now->ch[l ^ 1] = x->ch[l];
    x->ch[l] = now;
    now->update(); x->update();
    now = x;
}

别忘加引用

void splay(int val, ND &f) { //在树f中寻找值为val的节点，并伸展成为k的根节点
    int dir = f->whetherv(val); //下面一步要走的方向
    if (dir != -1 and f->ch[dir] != null) { //如果可以走
        int dir2 = f->ch[dir]->whetherv(val); //下面两步要走的方向
        if (dir2 != -1 and f->ch[dir]->ch[dir2] != null) { //如果可以走
            splay(val, f->ch[dir]->ch[dir2]); //递归
            if (dir == dir2) rotate(f, dir2 ^ 1), rotate(f, dir ^ 1); //zig-zig
            else rotate(f->ch[dir], dir2 ^ 1), rotate(f, dir ^ 1); //zig-zag
        }
        else rotate(f, dir ^ 1); //zig
    } //否则已经找到
}

别忘加引用

void splaykth(int k, ND &f) { //在树f中寻找第k小的节点，并伸展成为f的根节点
    int dir = f->whetherk(k); //下一步要走的方向
    if (dir == 1) k -= f->ch[0]->siz + f->same; //调整k
    if (dir == -1) return; //不能走
    int dir2 = f->ch[dir]->whetherk(k); //下面两步要走的方向
    int k2 = (dir2 == 1) ? k - (f->ch[dir]->ch[0]->siz + f->ch[dir]->same) : k; //调整k2
    if (dir2 != -1) { //能走的话
        splaykth(k2, f->ch[dir]->ch[dir2]); //递归
        if (dir == dir2) rotate(f, dir2 ^ 1), rotate(f, dir ^ 1); //zig-zig
        else rotate(f->ch[dir], dir2 ^ 1), rotate(f, dir ^ 1); //zig-zag
    }
    else rotate(f, dir ^ 1); //zig
}

写过的应该很熟悉
别忘加引用

ND split(int val, ND &f) { //把树分成小于等于val的和大于val的
    if (f == null) return null;
    splay(val, f);
    node *x, *y;
    if (f->val <= val) x = f, y = f->ch[1], f->ch[1] = null;
    else x = f->ch[0], y = f, f->ch[0] = null;
    f->update();
    f = x; //f中的元素都小于等于val
    return y; //返回的树中元素都大于val
}

别忘加引用

void merge(ND &x, ND &y) { //两棵树合并到x上，y会变成空树
    if (x == null) swap(x, y);
    splay(INF, x);
    x->ch[1] = y;
    y = null;
    x->update();
}

分裂后插入元素，有点像的操作
别忘加引用

void insert(int val, ND &f = root) {
    ND x = split(val, f); 
    if (f->val == val) f->same++;
    else {ND nw = new node(val); merge(f, nw);}
    merge(f, x);
}

可不要真傻乎乎地写
别忘加引用

void dele(int val, ND &f = root) {
    ND x = split(val, f);
    if (f->val == val and --(f->same) < 1) { //看是否有重复节点，真没了的话才删掉它
        ND y = f->ch[0];
        delete f;
        f = y;
    }
    merge(f, x);
}

查询的排名

别忘加引用

int rank(int k, ND &f = root) {
    splay(k, f);
    return f->ch[0]->siz + 1;
}

查询排名为的数

别忘加引用

int kthhh(int k, ND &f = root) {
    splaykth(k, f);
    return f->val;
}

查询的前驱

别忘加引用

int pre(int k, ND &f = root) {
    splay(k, f);
    if (f->val >= k) {
        if (f->ch[0] == null) return -INF;
        splay(INF, f->ch[0]); //伸展左子树的最大值
        return f->ch[0]->val;
    }
    else return f->val;
}

查询的后继

别忘加引用

int nxt(int k, ND &f = root) {
    splay(k, f);
    if (f->val <= k) {
        if (f->ch[1] == null) return INF;
        splay(-INF, f->ch[1]); //伸展右子树的最小值
        return f->ch[1]->val;
    }
    else return f->val;
}

下面给板子喽
​​​Luogu 3369 普通平衡树​​

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <complex>
#include <algorithm>
#include <climits>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <iomanip>
#define A 1000010
#define B 2010

using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF = 0x7fffffff;
namespace Splay {
    struct node *null;
    struct node {
        node *ch[2];
        int same, val, siz;
        int whetherv(int v) {
            if (v == val) return -1;
            else return v < val ? 0 : 1;
        }
        int whetherk(int k) {
            if (k <= ch[0]->siz) return 0;
            else if (k <= ch[0]->siz + same) return -1;
            else return 1;
        }
        void update() {
            siz = same + ch[0]->siz + ch[1]->siz;
        }
        node(int x) : same(1), val(x), siz(1) {
            ch[0] = ch[1] = null;
        }
    } *root;
    #define ND node*
    void init() {
        null = new node(0);
        root = null->ch[0] = null->ch[1] = null;
        null->siz = null->same = 0;
    }
    void rotate(ND &now, int l) {
        ND x = now->ch[l ^ 1];
        now->ch[l ^ 1] = x->ch[l];
        x->ch[l] = now;
        now->update(); x->update();
        now = x;
    }
    void splay(int val, ND &f) {
        int dir = f->whetherv(val);
        if (dir != -1 and f->ch[dir] != null) {
            int dir2 = f->ch[dir]->whetherv(val);
            if (dir2 != -1 and f->ch[dir]->ch[dir2] != null) {
                splay(val, f->ch[dir]->ch[dir2]);
                if (dir == dir2) rotate(f, dir2 ^ 1), rotate(f, dir ^ 1);
                else rotate(f->ch[dir], dir2 ^ 1), rotate(f, dir ^ 1);
            }
            else rotate(f, dir ^ 1);
        }
    }
    void splaykth(int k, ND &f) {
        int dir = f->whetherk(k);
        if (dir == 1) k -= f->ch[0]->siz + f->same;
        if (dir == -1) return;
        int dir2 = f->ch[dir]->whetherk(k);
        int k2 = (dir2 == 1) ? k - (f->ch[dir]->ch[0]->siz + f->ch[dir]->same) : k;
        if (dir2 != -1) {
            splaykth(k2, f->ch[dir]->ch[dir2]);
            if (dir == dir2) rotate(f, dir2 ^ 1), rotate(f, dir ^ 1);
            else rotate(f->ch[dir], dir2 ^ 1), rotate(f, dir ^ 1);
        }
        else rotate(f, dir ^ 1);
    }
    ND split(int val, ND &f) {
        if (f == null) return null;
        splay(val, f);
        node *x, *y;
        if (f->val <= val) x = f, y = f->ch[1], f->ch[1] = null;
        else x = f->ch[0], y = f, f->ch[0] = null;
        f->update();
        f = x;
        return y;
    }
    void merge(ND &x, ND &y) {
        if (x == null) swap(x, y);
        splay(INF, x);
        x->ch[1] = y;
        y = null;
        x->update();
    }
    void insert(int val, ND &f = root) {
        ND x = split(val, f);
        if (f->val == val) f->same++;
        else {ND nw = new node(val); merge(f, nw);}
        merge(f, x);
    }
    void dele(int val, ND &f = root) {
        ND x = split(val, f);
        if (f->val == val and --(f->same) < 1) {
            ND y = f->ch[0];
            delete f;
            f = y;
        }
        merge(f, x);
    }
    int rank(int k, ND &f = root) {
        splay(k, f);
        return f->ch[0]->siz + 1;
    }
    int kth(int k, ND &f = root) {
        splaykth(k, f);
        return f->val;
    }
    int pre(int k, ND &f = root) {
        splay(k, f);
        if (f->val >= k) {
            if (f->ch[0] == null) return -INF;
            splay(INF, f->ch[0]);
            return f->ch[0]->val;
        }
        else return f->val;
    }
    int nxt(int k, ND &f = root) {
        splay(k, f);
        if (f->val <= k) {
            if (f->ch[1] == null) return INF;
            splay(-INF, f->ch[1]);
            return f->ch[1]->val;
        }
        else return f->val;
    }
}
int n, opt, x, y;

int main() {
    Splay::init();
    cin >> n;
    while (n--) {
        cin >> opt >> x;
        switch(opt) {
            case 1 : Splay::insert(x); break;
            case 2 : Splay::dele(x); break;
            case 3 : cout << Splay::rank(x) << endl; break;
            case 4 : cout << Splay::kth(x) << endl; break;
            case 5 : cout << Splay::pre(x) << endl; break;
            case 6 : cout << Splay::nxt(x) << endl; break;
            default : break;
        }
    }
    return 0;
}


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