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Fisher线性判别分析Fisher Linear Distrimination

ZGtheGreat 2022-01-18 阅读 44

标签: 机器学习算法

Fisher线性判别分析是一种线性分类方法，它的主要思想是：是类内的方差小，类均值之间相差比较大。（类间大，类内小）

以两个类的分类为例：

将两个类由在x1，x2上投影到向量u 上，这样由二维转到了一维，然后将两类从两团点的中间分开。

如果要使类间相差大的话，那么每个类的平均数之间也会相差大，设 $\mu_1,\mu_2$ 分别为加号点和减号点的平均值，那么投影后，他们距离的平方，也就是 $||\mu_1^T\mu-\mu_2^T\mu||^2$ 尽可能大。

如果要使类内方差小的话，那么两个类投影到直线（向量）上后，他们的点分别为 $\mu^T\Sigma_1\mu,\mu^T\Sigma_2\mu$

所以他们的和也要尽可能小 $\mu^T\Sigma_1\mu+\mu^T\Sigma_2\mu$

因此把大的作为分子，小的作为分母，他们相除的整体就是越大越好，

$Lossfunction:J(\mu) = \frac{\mu^T(\mu_1-\mu_2)(\mu_1-\mu_2)^T\mu}{ \mu^T \Sigma_1 \mu+ \mu^T \Sigma_2 \mu }$

设 $S_B=(\mu_1-\mu_2)(\mu_1-\mu_2)^T$

$S_W=\Sigma_1+\Sigma_2$

则 $J(\mu)=\frac{ \mu^TS_B\mu }{\mu^TS_W\mu}$

对J(u)进行求导，则有 $\frac{ \2 S_B\mu(\mu^TS_w\mu)-2 S_W\mu(\mu^TS_B\mu) }{(\mu S_W \mu)^2}$

令导数等于0，得到 $S_B\mu = (\frac{\mu^TS_B\mu}{u^TS_W\mu})S_W\mu$

括号里的可以用一个缩放值来代替

则 $\mu = \alpha S_W^{-1}S_B\mu=\alpha S_W^{-1}(\mu_1-\mu_2)(\mu_1-\mu_2)^T\mu$

因为 $(\mu_1-\mu_2)^T$ 和 $\mu$ 在同一个方向上，相乘之后变为常数

因此最终 $\mu = \beta S_W^{-1}(\mu_1-\mu_2)$

就是我们要投影的向量。

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