矩阵论-1线性空间-CFANZ编程社区

集合
集合：如数集、解集合、点集
元素
集合与元素的关系
集合与集合的关系
        真子集合、假子集合
        相等：证明方法：S1包含S2且S2包含S1
        集合的交
        集合的并
        集合的和： $S=S_{1}+S_{2}=\left \{ x+y|x\in S_{1},y\in S_{2} \right \}$
数域：关于四则运算封闭的数集
环：关于加减乘运输封闭的数集
        如实数集是实数域、复数集是复数域、全体有理数集是数域且是最小的数域；整数集不是数域，但是环

映射/变换 $\delta$

$\delta :S\rightarrow S^{'}$ $\delta(a)=a^{'}$

        规则 $\delta$               原象   象 $a^{'}$
映射的类别
        单射： $\delta(a)=\delta(b)\Leftrightarrow a=b$
        满射： $S^{'}$ 中每个元素都有原象
映射的关系
        相等：
        相乘：注：不满足交换律

线性空间

集合V是数域K上的线性空间：
条件：唯一性（单值映射）&封闭性（V中定义的加法和数乘封闭）&8条
即对于“加法”：
        集合律
        交换律
        零元律
        负元律
对于“数乘”：
        数因子分配律
        分配律
        结合律
        恒等律：
注意：
        集合V并未限制为数集，亦可为解集、函数集等，所以V中定义的“加法运算”中的零元、负元都是抽象的零、负数，可以为非0值、非负值或其他非数值的元素。
        数域K限制了K中元素是数，所以V中定义的“数乘运算”中的1就是数字1，不为其他值。
        数域K不同，定义出来的空间也不同，不一定仍为线性空间
        K为实/复数域时，V称为实/复线性空间
        线性空间是某类事物从量的方面的抽象？？
性质：
        线性空间V有唯一的零元素，任一元素有负元素且唯一
        数0乘以元素x =零元
        （有数域K中的数参与的数乘运算）（零元是集合V中的元素，不为数域中的0）
        数-1乘以元素x =负元x
        数乘以零元 =零元（即恒等律）
        数乘以元素 =零元，则数=0 或元素=零元

ps：证明思路：
证明唯一性：取两个并假设为不同，然后证明两个相等
证明“或者”：用反证法