排序损失的定义（西瓜书笔记2）

我在学习西瓜书的性能度量部分的内容时，对ROC曲线中的“排序”损失l_rank(loss)的定义：

书上这样描述到：“容易看出l_rank 对应的是ROC曲线之上的面积，因此有AUC=1-l_rank”
当然我觉得这个容易的不是很容易，所以我就写了点我的理解，希望可以帮到大家。
用特例证明一下：
假设有5对正反例：
正例预测结果概率为（0.9, 0.8, 0.5, 0.4, 0.3）;
反例预测结果概率为（0.7, 0.6, 0.2, 0.1, 0.01）;
那么总排序为（红色为正例概率，黑色为反例概率）：
我们可以画出ROC曲线

可以观察到，每个虚线所框出的方格面积为1 /m⁺ m^-，所以反例概率比正例概率大的情况共有32=6种，所以排序损失对应ROC 曲线之上的6个方格的面积 .再考虑另一种情形：依然有5对正反例：正例预测结果概率为（0.9, 0.8, 0.5, 0.4, 0.3）; 反例预测结果概率为（0.7, 0.5, 0.2, 0.1, 0.01）;那么总排序可以有两种情况为（红色为正例概率，黑色为反例概率）：

故 ROC 曲线有相应的两种情况（红色和绿色分别对应情况一与二）：

这时，反例概率比正例概率大的情况共有1+22=5种，而反例概率与正例概率相同的情况可认为各占一半，所以得出总的排序损失为(5+1/2)×1 /m⁺ m^-。
这就证明了原公式的含义：