【最小生成树问题（Minimum Spanning Tree）—

最小生成树问题（Minimum Spanning Tree）——图

1、最小生成树（Minimum Spanning Tree）
2、最小生成树的典型用途
3、最小生成树的求解

·普里姆算法（Prim)
·克鲁斯卡尔算法（Kruskal)

1、最小生成树（Minimum Spanning Tree）

目标：在网的多个生成树中，寻找一个各边权值之和最小的生成树，即最小生成树。

构造最小生成树的准则：
1、必须只使用该网中的边来构造最小生成树
2、必须使用且仅使用n-1条边来联结网络中的n个顶点
3、不能使用产生回路的边

2、最小生成树的典型用途

欲在n个城市间建立通信网，则n个城市应铺n-1条线路，但因为每条线路都会有对应的经济成本，而n个城市可能有n(n-1)/2条线路，那么，如何选择n-1条线路，使总费用最少？

数学模型：
顶点：表示城市，有n个
边：表示线路，有n-1条
边和权值：表示线路的经济代价

【最小生成树问题（Minimum Spanning Tree）——图】_sed

3、最小生成树的求解

·普里姆算法（Prim)

1、普里姆算法的基本思想：加点法

设N = （V,{E})使连通网，TE是N上最小生成树中边的集合。

Prim算法思想的构造过程：

【最小生成树问题（Minimum Spanning Tree）——图】_算法_02

2、设计数据结构

（1）图采用邻接矩阵来存储
（2）一维数组closedeg,记录从U到V-U具有最小代价的边。

【最小生成树问题（Minimum Spanning Tree）——图】_sed_03

/*图的邻接矩阵存储表示法*/
//用两个数组分别存储顶点表和邻接矩阵
#define MaxInt 32767  //表示极大值，即无穷
#define MVNum 100  //最大顶点数
typedef char VerTexType;  //假设顶点的数据类型为字符型
typedef int ArcType;  //假设边的权值类型为整型
typedef struct
{
  VerTexType vexs[MVNum]; //顶点表
  ArcType arcs[MVNum][MVNum]; //邻接矩阵
  int vexnum, arcnum; //图的当前顶点数和边数
}AMGraph;

对每个顶点v，V-U在辅助数组存在一个相应的分量closedge[i-1],它包括两个域：

typedef struct
{
  VerTexType adjvex;//最小边的顶点
  ArcType lowcost;//最小边的权值
}closedge[MAX_VERTEX_NUM];
//adjvex:依附于这条最小代价边的另一个顶点
//lowcost = 0 :表示顶点已经在顶点集U中
//lowcost > 0 :表示顶点i还在V-U中

所以，每次循环须在lowcost >0（在集合V-U中）的那些顶点中选择lowcost最小的顶点加入到集合中，同时将相关顶点的closedge作相应的调整。

3、Prim算法描述

void MiniSpanTree_Prim(AMGraph G, VerTexType u)
{//无向网G以邻接矩阵存储，从顶点u出发构造G的最小生成树T,输出T的各条边
  k = LocateVex(G, u);//起点位置，k为顶点u的下标
  for (j = 0;j < G.vexnum;++j)//对V-U的每个顶点vi,初始化closedge[i]
  {
    if (j != k)
    {
      closedge[j].adjvex = u;
      closedge[j].lowcost = G.arcs[k][j];
    }
  }
  closedge[k].lowcost = 0;//初始，U = { u }
  for (i = 1；i < G.vexnum;++i)
  {//选择其余n-1个顶点，生成n-1条边（n = G.vexnum ）
    k = Min(closedge);//求出T的下一个结点：closedge[k]存有当前最小边
    u0 = closedge[k].adjvex;//u0为最小边的一个顶点，u0 属于 U
    v0 = G.vexs[k];//v0为最小边的另一个顶点，v0 属于 V-U
    cout << "边" << u0 << "-->" << v0 << endl;//输出当前的最小边（u0,v0）
    closedge[k].lowcost = 0;//第k个顶点并入U集
    for(j=0;j<G.vexnum;++j)
      if (G.arcs[k][j] < closedge[j].lowcost)
      {//新顶点并入U后重新选择最小边
        closedge[j].adjvex = G.vexs[k];
        closedge[j].lowcost = G.arcs[k][j];
      }
  }
}

·克鲁斯卡尔算法（Kruskal)

1、克鲁斯卡尔Kruskal算法的基本思想：加边法

有n个结点，都看成独个连通分量，在所有边中选取权值最小的边，将两个顶点连成一个连通分量，舍弃两个顶点间的其他连线，重复此步骤，直到所有顶点都在一个连通分量上面为止。

2、设计数据结构

算法实现要引入以下数据结构：

（1）结构体数组Edge:存储边的信息，包括边的两个顶点信息和权值。

//辅助数组Edges的定义
typedef struct
{
  VerTexType Head;//边的始点
  VerTexType Tail;//边的终点
  ArcType lowcost;//边上的权值
}Edge[arcnum];

（2）、Vexset[i]：标识各个顶点所属的连通分量。对每个顶点vi属于V，在辅助数组中存在一个相应元素Vexset[i]表示该顶点所在的连通分量。初始化时 Vexset[i] = i,表示各顶点自成一个连通分量。

//辅助数组Vexset的定义
int Vexset[MVNum];

3、Kruskal算法描述

void MiniSpanTree_Kruskal(AMGraph G)
{ //无向网G以邻接矩阵形式存储，构造G的最小生成树T，输出T的各条边
  Sort(Edge);//将数组Edge中的元素按权值从小到大排序
  for (i = 0;i < G.vexnum;++i)//辅助数组，表示各顶点自成一个连通分量
    Vexset[i] = i;
  for (i = 1;i < G.arcnum;++i)
  { //依次查看排好序的数组Edge中的边是否在同一连通分量上
    v1 = LocateVex(G, Edge[i].Head);//v1为边的始点Head的下标
    v2 = LocateVex(G, Edge[i].Tail);//v2为边的终点Tail的下标
    vs1 = Vexset[v1];//获取边Edge[i]的始点所在的连通分量vs1
    vs2 = Vexset[v2];//获取边Edge[i]的终点所在的连通分量vs2
    if (vs1 != vs2)//边的两个顶点分属不同的连通分量
    {
      cout << Edge[i].Head << Edge[i].End;//输出此边
      for (i = 0;i < G.vexnum;++i)//合并vs1和vs2两个分量，即两个集合统一编号
        if (Vexset[i] == vs2)
          Vexset[i] = vs1;//集合编号为vs2的都改为vs1
    }
  }
}