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深度学习:softmax激活实现多元分类

一葉_code 2022-02-19 阅读 72

简单来讲,对于一个输入向量 z [ l ] z^{[l]} z[l],在softmax函数中会进行如下计算:
t [ l ] = exp ⁡ ( z [ l ] ) a [ l ] = t [ l ] ∑ i = 1 n [ l ] t i [ l ] t^{[l]}=\exp(z^{[l]}) \\ a^{[l]}=\frac{t^{[l]}}{\sum_{i=1}^{n^{[l]}}t^{[l]}_i} t[l]=exp(z[l])a[l]=i=1n[l]ti[l]t[l]即把输入值作为指数,然后归一化,使输出向量所有元素之和为1,将元素的数值作为属于对应类别的概率,取最大值索引就是我们认为输入属于的类别。

如果不添加隐藏层,softmax函数构造的就是一个线性的多元分类边界:
在这里插入图片描述
这样不加隐藏层的模型也被称为softmax回归,是逻辑回归从二元到多元的推广。

若把softmax放在深度神经网络的输出层作为激活函数,就可以得到一个拥有复杂边界的多元分类器。

softmax的损失函数为
L ( y ^ , y ) = − ∑ i = 1 n [ L ] y i log ⁡ y ^ i \mathcal{L}(\hat{y},y)=-\sum_{i=1}^{n^{[L]}}y_i\log\hat{y}_i L(y^,y)=i=1n[L]yilogy^i即查看训练集的真实分类值,并令其对应的概率值尽可能的大。

而整个训练集的代价就是把所有样本的损失都加起来,即
J ( ⋯   ) = 1 m ∑ i = 1 m L ( y ^ ( i ) , y ( i ) ) J(\cdots)=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\mathcal{L}(\hat{y}^{(i)},y^{(i)}) J()=m1i=1mL(y^(i),y(i))
而向后传播的输入 Z [ L ] Z^{[L]} Z[L]则是
d Z [ L ] = Y ^ − Y dZ^{[L]}=\hat{Y}-Y dZ[L]=Y^Y

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