独立小样本两个总体均值只差的估计

小样本： $n_{1}<30$ 或 $n_{2}<30$

条件：总体服从正态分布，随机样本是从两个总体独立选取的。

如果： ${\sigma _{1}}^{2}={\sigma _{2}}^{2}$

${s_{p}}^{2}=\frac{(n_{1}-1){s_{1}}^{2}+(n_{2}-1){s_{2}}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}$ 自由度= $(n_{1}+n_{2}-2)$

${\sigma _{1}}^{2}$ ：总体1 -方差， ${\sigma _{2}}^{2}$ ：总体2 -方差
$\overline{y_{1}}$ ：样本1 -均值， $\overline{y_{2}}$ ：样本2 -均值
$n_{1}$ ：样本1 -样本数量， $n_{2}$ ：样本2 -样本数量
${s_{1}}^{2}$ ：样本1 -样本方差， ${s_{2}}^{2}$ ：样本2 -样本方差
$t_{\frac{\alpha }{2}}$ ：t分布值，若取95%置信区间，则 $\alpha$ 为0.05.

由于是用于样本数据，所以采用pandas的方差函数。

import numpy as np
from scipy.stats import t
import pandas as pd

y1 = [1189, 840, 1020, 980]  # 抽样1数据
y2 = [853, 900, 733, 785]  # 抽样2数据
# 方差
arr1 = pd.Series(y1)  # 样本1 生成Series
arr2 = pd.Series(y2)  # 样本2 生成Series
arr_var1=arr1.var()   # 取得样本1 方差 20636.91
arr_var2=arr2.var()  # 取得样本2 方差 5420.916

计算

样本均值: $\overline{y}$ =arr_mean1&arr_mean2,
t分布分位点: $t_{\frac{\alpha }{2}}$ =t_value，
样本数量:n=n1&n2

# 均值
arr_mean1 = np.mean(y1)  # 样本1 均值 1007
arr_mean2 = np.mean(y2)  # 样本2 均值 817.8

# t分布值

n1 = len(y1)  # 抽样2数据个数 4
n2 = len(y2)  # 抽样1数据个数 4
variance = (n1 + n2 - 2)  # 自由度 6

b = 0.95  # 定义置信系数95%
a = 1 - b  # 定义
t_v = t(variance)  # 定义一个自由度为6:(n1 + n2 - 2)的 t分布
t_value = t_v.isf(a / 2)  # 取t分布单侧右分位点 ；stats.t.ppf(a,df)/左分位点；stats.t.isf(a,df)/右分位点；stats.t.interval(1-a,df)/双侧分位点

计算

${s_{p}}^{2}$ =sp_2

sp_2 = (((n1 - 1) * arr_var1) + ((n2 - 1) * arr_var2)) / variance

a = arr_mean1 - arr_mean2
b = t_value * ((sp_2 * ((1 / n1) + (1 / n2))) ** 0.5)
# 上区间
up = a - b
# 下区间
dn = a + b
print([up, dn])

输出结果：

如果： ${\sigma _{1}}^{2}\neq {\sigma _{2}}^{2}$

条件：总体服从正态分布，随机样本是从两个总体独立选取的。

自由度： $v=\frac{(\frac{{s_{1}}^{2}}{n_{1}}+\frac{{s_{2}}^{2}}{n_{2}})^{2}}{\frac{(\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}})^{2}}{n_{1}-1}+\frac{(\frac{s_{2}^{2}}{n_{2}})^{2}}{n_{2}-1}}$

s1=arr_var1 #样本1 方差 20636.91
s2=arr_var2 # 样本2 方差 5420.916

v=((s1/n1+s2/n2)**2)/((((s1/n1)**2)/(n1-1))+(((s2/n2)**2)/(n2-1))) #自由度为4
v=round(v,0)
t_value2 = t.isf((a / 2),v) # 取t分布单侧右分位点
c = t_value * ( ((s1 / n1) + (s2 / n2)) ** 0.5)
# 上区间
up = a - c
# 下区间
dn = a + c
print([up, dn])