C语言中整数不同形式的表示与转换

C语言整数不同形式的表示与转换

通常来说，用位来编码整数有两种不同的方式

• 一种只能表示非负数，即无符号数
• 另一种能表示负数、零和正数，即有符号数

无符号数的编码

无符号数只能表示非负数，当所有位全为0是表示的值为0，其他情况均表示的是正数

其定义如下：

对向量$x=[x_{w-1},x_{w-2},...,x_0]$而言，其无符号数编码的值为：
$$B2U_w(x)\doteq \sum _{i=0}^{w-1}{x}_i{w}^i$$

例子：
$$\begin{array}{rl}& B2U_4([0001])=0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+1\cdot 2^0=0+0+0+1=1\\ & B2U_4([0101])=0\cdot 2^3+1\cdot 2^2+0\cdot 2^1+1\cdot 2^0=0+4+0+1=5\\ & B2U_4([1011])=1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+1\cdot 2^0=8+0+2+1=11\\ & B2U_4([1111])=1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+1\cdot 2^1+1\cdot 2^0=8+4+1+1=15\end{array}$$

有符号数的编码

最常见的有符号数的计算机表示方式就是补码(two 's complement)形式

在这个定义中，将字的最好有效位解释为负权（negative weight）

补码的定义如下

对向量$x=[x_{w-1},x_{w-2},...,x_0]$而言，其补码编码的值为：
$$B2T_w(x)\doteq -x_{w-1}{2}^{w-1}+\sum _{i=0}^{w-1}{x}_i{w}^i$$

例子（请与上面的无符号数的例子对照看）：
$$\begin{array}{rl}& B2T_4([0001])=-0\cdot 2^3+0\cdot 2^2+0\cdot 2^1+1\cdot 2^0=0+0+0+1=1\\ & B2T_4([0101])=-0\cdot 2^3+1\cdot 2^2+0\cdot 2^1+1\cdot 2^0=0+4+0+1=5\\ & B2T_4([1011])=-1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+1\cdot 2^0=-8+0+2+1=-5\\ & B2T_4([1111])=-1\cdot 2^3+1\cdot 2^2+1\cdot 2^1+1\cdot 2^0=-8+4+2+1=-1\end{array}$$

补码的取值范围：

补码所能表示的最小值为$[10...0]$（也就是除了最高位符号位为1外其他全为0），其表示的值为$TMi{n}_w=-2^{w-1}$，

补码所能表示的最大值是$[01...1]$（也就是除了最高位符号位为0外其他全为1），其表示的值为$TMa{x}_w={\sum }_{i=0}^{w-2}{2}^i=2^{w-1}-1$

故补码所能表示的范围为$[TMi{n}_w,TMa{x}_w]=[-2^{w-1},2^{w-1}-1]$

例子：

以编码字长为4为例
$$\begin{array}{rl}& TMi{n}_4=B2T_4([1000])=-2^3=-8\\ & TMa{x}_4=B2T_4([0111])=2^2+2^1+2^0=4+2+1=7\end{array}$$

有符号数与无符号数之间的转换

对于大多数C语言的实现来说，对这个问题的回答都是从位级角度来看的

比如说，考虑如下代码：

short v = 12345;
short mv = -v;
unsigned short uv = (unsigned short) mv;
printf("v = %d, mv = %d, uv = %u", v, mv, uv);

在一台采用补码的机器上，上述代码会产生如下输出：

$v=12345，mv=-12345，uv=53191$

将其转换为二进制表示如下图，我们可以看到在将一个数转换为其相反数表示形式时，其位模式发生了改变，而在进行强制类型转换的时候，位模式并没有发生变化，只是改变了解释这些位的方式，从下图中也可以看到，$-12345$的16位补码表示与$53191$的16位无符号表示是完全一样的。将short强制类型转换为unsigned short改变数值，但不改变位表示。

再来看一个例子：

unsigned u = 4294967295u;    // 4294967295u为最大的32位无符号数
int tu = (int) u;
printf("u = %u, tu = %d", u, tu);

同样的，在一台采用补码的机器上，上述代码会产生如下输出

$u=4294967295u,tu=-1$

从图2-14（在上面）可以看出，对于32位字长来说，无符号形式的$4294967295$和补码形式的$-1$的位模式是一模一样的。

同样的，将unsigned强制类型转换位int，底层的位表示不变

对于大多数C语言的实现，处理同样字长的有符号数和无符号数之间相互转换的一般规则是：数字可能会改变，但是位模式不会变

从第一个例子可以看出来$T2U_{16}(-12345)=53191$，并且$U2T_{16}(53191)=-12345$。也就是说，十六进制表示写作$0xCFC7$的16位位模式既是-12345的补码表示，又是53191的无符号表示。同时注意$12345+53191=65363=2^{16}$。类似地，对于第二个例子来说，也有如下关系$T2U_{32}(-1)=4294967295$，并且$U2T_{32}(4294967295)=-1$。也就是说，无符号表示中的$UMax$有着和补码表示的-1相同的位模式，我们在这两个数之间也能看到这种关系：$1+UMa{x}_w=2^w$。这个属性可以推广到给定位模式的两个数值（补码和无符号数）之间的关系

通过上述这些例子，我们可以得到如下关系：

补码转换为无符号数的规则：

对满足$TMi{n}_w\le x\le TMa{x}_w$的$x$有：
$$T2U_w(x)=\{\begin{array}{ll}x+2^w,& \text{x<0}\\ x,& \text{x <= 0}\end{array}$$
对上式可以如下理解，当补码为负数时，其符号位为1，在计算其表示的数值时，最高位也就是符号位对于总数值的贡献为$-2^{w-1}$，但是当其转换位无符号数时，其最高位的贡献为$2^{w-1}$，二者的差值为$2^{w-1}-(-2^{w-1})=2^w$，因此如果补码表示的是负数，转换为无符号数时需要加$2^w$

例如$T2U_{16}(-12345)=53191$，由于$-12345<0$，因此其转换为无符号是要加上$2^{16}=65363$，则计算得到的无符号数为$-12345+2^{16}=-12345+65363=53191$

无符号数转换为补码的规则：

对满足$0\le u\le UMa{x}_w$的$u$有：
$$U2T_w(x)=\{\begin{array}{ll}u,& \text{x<=TMax}\\ u-2^w,& \text{x > TMax}\end{array}$$
理解上式时请对照着补码转换为无符号数的解释看，如果可以的话请尽可能自己按照上面的方法推一下，以确保自己是真的理解了

总结

不论是有符号数还是无符号数，我们都需要将其编码的规则牢记于心，这样哪怕忘了转换的规则，我们只需要知道在转换的时候位模式并为发生变化，只是对于相同的二进制数值按照不同的方式进行解析而已。

最后看一下两种模式相互转换时，其不同的位模式范围的对应关系：

• 对于非负数来说，其在两种解析方式下表示的值是一样的
• 对于负数来说，两种解析方式下只是将其符号位的1按照不同的方式对待
  • 在有符号数模式中，符号位的1对于数值的贡献为$-2^{w-1} $
  • 在无符号数模式中，符号位的1对于数值的贡献为$2^{w-1}$
• 二者相互转换的时候只需要加或者减差值$2^w$即可