洛谷P8255 解法 2020328

[P8255 NOI Online 2022 普及组] 数学游戏（民间数据） - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

题目： z = xy*gcd(x,y)

已知：z, x 求 y

思路一，暴力20%

直接上代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
typedef long long LL;

using namespace std;

LL gcd(LL a, LL b) // 欧几里得算法
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

LL solve(LL x, LL z)
{
    if (z % x != 0)
    {
        return -1;
    }
    else
    {
        LL y_gcx = z / x;
        for (LL i = 1; i <= y_gcx; i++)
        {
            if (gcd(i, x) * i == y_gcx)
                return i;
        }
        return -1;
    }
}

int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        LL x, z;
        cin >> x >> z;
        cout << solve(x, z) << endl;
    }

    return 0;
}

思路二，数学解100%

解： x与y 的最大公约数设为a. 则gcd(x,y) = a.
$$\begin{gathered} z=x\ast y\ast gcd(x,y) \\ t=z/x=y\ast gcd(x,y) \\ 设：x=k\ast a \\ 设：y=l\ast a \\ l与k的最大公约数为1. \\ t1=gcd(x\ast x,y\ast gcd(x,y)) \\ t1=gcd(k\ast a\ast k\ast a，l\ast a\ast a) \\ a=sqrt(t1) \\ t1一定是完全平方数。那么y有一定存在解。且解为t/a;如果不是的话，则y不是整数，无解，返回-1。 \end{gathered}$$

Code

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <math.h>
typedef long long LL;

using namespace std;

LL gcd(LL a, LL b) // 欧几里得算法
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

LL solve(LL x, LL z)
{
    if (z % x != 0)
    {
        return -1;
    }
    else
    {
        LL y_gcx = z / x;
        LL tem = gcd(x * x, y_gcx); // 先求出：x*x和y*gcd（x，y）公约数。 
        LL t = sqrt(tem);//sqrt正常返回double， 如果这个公约数的开方恰好等于一个整数。 

        if (t * t == tem)// 如果这个公约数的开方恰好等于一个整数。
            return y_gcx / t;// 解出y
        else
            return -1;
    }
}

int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        LL x, z;
        cin >> x >> z;
        cout << solve(x, z) << endl;
    }

    return 0;
}