行列式与平面方程

已知在欧氏几何(Euclidean geometry)中, 一个平面由三个不共线的点唯一确定. 我们假设$X_i=(x_i,y_i,z_i)$(其中 i ∈ { 1 , 2 , 3 } i \in \{1,2,3\} i∈{1,2,3})不共线, 唯一确定了平面$P$.

假设$P$的解析式为$Ax+By+Cz+D=0$(其中$A,B,C$至少一个不为零), 则:

$$\{\begin{array}{l}Ax+By+Cz+D=0\\ A{x}_1+B{y}_1+C{z}_1+D=0\\ A{x}_2+B{y}_2+C{z}_2+D=0\\ A{x}_3+B{y}_3+C{z}_3+D=0\end{array}$$

写成矩阵形式, 有:

$$\left[\begin{array}{cccc}x& y& z& 1\\ x_1& y_1& z_1& 1\\ x_2& y_2& z_2& 1\\ x_3& y_3& z_3& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}A\\ B\\ C\\ D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

对于线性方程组${\mathbf{M}}_{n\times n}\cdot \mathbf{v}=0$, $\mathbf{v}$有非零解的充分必要条件是${\mathbf{M}}_{n\times n}$不满秩, 即$\det \left(M_{n\times n}\right)=0$.

注意到$A,B,C$至少一个不为零, 因此:

$$\det \left(\left[\begin{array}{cccc}x& y& z& 1\\ x_1& y_1& z_1& 1\\ x_2& y_2& z_2& 1\\ x_3& y_3& z_3& 1\end{array}\right]\right)=0$$

矩阵L1范数的几何证明(利用凸性)

等价形式

$\Vert A{\Vert }_1=\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{\Vert Ax{\Vert }_1}{\Vert x{\Vert }_1}=\underset{\Vert x{\Vert }_1=1}{\sup }\Vert Ax{\Vert }_1$

外曲面

记外曲面 O A 1 ( r ) = { x ∣ ∥ A x ∥ 1 = r } O_A^1(r) = \{x \mid \|Ax\|_1 = r \} OA1​(r)={x∣∥Ax∥1​=r}, 易见外曲面$O_A^1(r)$所包裹的区域 O A 1 ^ ( r ) = { x ∣ ∥ A x ∥ 1 ⩽ r } \widehat{O_A^1}(r) = \{x \mid \|Ax\|_1 \leqslant r \} OA1​ ​(r)={x∣∥Ax∥1​⩽r}是凸的.

内曲面

等价形式

$\Vert A{\Vert }_1=\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{\Vert Ax{\Vert }_1}{\Vert x{\Vert }_1}=\underset{\Vert x{\Vert }_1=1}{\sup }\Vert Ax{\Vert }_1$

外曲面

记外曲面 O A 1 ( r ) = { x ∣ ∥ A x ∥ 1 = r } O_A^1(r) = \{x \mid \|Ax\|_1 = r \} OA1​(r)={x∣∥Ax∥1​=r}, 易见外曲面$O_A^1(r)$所包裹的区域 O A 1 ^ ( r ) = { x ∣ ∥ A x ∥ 1 ⩽ r } \widehat{O_A^1}(r) = \{x \mid \|Ax\|_1 \leqslant r \} OA1​ ​(r)={x∣∥Ax∥1​⩽r}是凸的.

内曲面

记内曲面 I p = { x ∣ ∥ x ∥ p = 1 } I^p = \{x \mid \|x\|_p = 1 \} Ip={x∣∥x∥p​=1}(其中$0<p⩽1$), 易见$0<p<1$时内曲面$I^p$所包裹的区域 I p ^ = { x ∣ ∥ x ∥ p ⩽ r } \widehat{I^p} = \{x \mid \|x\|_p \leqslant r \} Ip ={x∣∥x∥p​⩽r}不是凸的, 且其凸包(convex hull)是$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\left(I^p\right)=I^1$.

外曲面与内曲面所包裹的区域相交

$\Vert A{\Vert }_1=\underset{\Vert x{\Vert }_1=1}{\sup }\Vert Ax{\Vert }_1=\underset{p\to 1}{\lim }\underset{r>0}{\inf }\mathbb{I}[O_A^1(r)\not\supset I^p]$

$r$从较大的值$R$($R$满足$O_A^1(R)⫌I^p$)开始逐渐缩小, 直到缩小到$r^{\ast }$($r^{\ast }$使得外曲面$O_A^1(r^{\ast })$恰好与内曲面所包裹的区域$I^p$相交).

恰好相交时, 由于内曲面所包裹的区域$I^p$非凸, 所以外曲面$O_A^1(r^{\ast })$实际上是与内曲面所包裹的区域的凸包$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}\left(I^p\right)$相交.
亦即, 交点属于集合 I p ^ ∩ c o n v ( I p ^ ) = { x ∣ ∃ i ∈ { 1 , ⋯   , n } , ∣ x i ∣ = 1 , ∀ j ≠ i , x j = 0 } \widehat{I^p} \cap \mathrm{conv}\left(\widehat{I^p}\right) = \{x \mid \exists i \in \{1, \cdots, n\}, |x_i| = 1, \forall j \neq i, x_j = 0\} Ip ∩conv(Ip )={x∣∃i∈{1,⋯,n},∣xi​∣=1,∀j​=i,xj​=0}

$O_A^1(R)\to O_A^1(r^{\ast })$

$I^p\to I^1$

∥ A ∥ 1 = sup ⁡ ∥ x ∥ 1 = 1 ∥ A x ∥ 1 = sup ⁡ ∃ i ∈ { 1 , ⋯   , n } , ∣ x i ∣ = 1 , ∀ j ≠ i , x j = 0 ∥ A x ∥ 1 = sup ⁡ i ∈ { 1 , ⋯   , n } ∣ ∑ k = 1 m A k i ∣ \| A\|_1 = \sup\limits_{\|x\|_1 = 1} \|Ax\|_1 = \sup\limits_{\exists i \in \{1, \cdots, n\}, |x_i| = 1, \forall j \neq i, x_j = 0} \|Ax\|_1 = \sup\limits_{i \in \{1, \cdots, n\}} \left| \sum\limits_{k=1}^{m} A_{ki} \right| ∥A∥1​=∥x∥1​=1sup​∥Ax∥1​=∃i∈{1,⋯,n},∣xi​∣=1,∀j​=i,xj​=0sup​∥Ax∥1​=i∈{1,⋯,n}sup​∣∣∣∣​k=1∑m​Aki​∣∣∣∣​