【上海网络赛 Counting SequenceII】

1.

一句话题意：构造一个长度为n的数组，a[1,n],范围为[1,m].其中偶数出现的次数必须是偶数次。

2.解析：母函数计数问题。还是很常规的用法，母函数写一下。这里我们是首先考虑无限长的时候，然后再单独的看n的系数即可。假设在[1,m]中有t个偶数，那么就有m-t个奇数。

然后泰勒级数求和一下：

然后化简一下，把括号二项式展开：

这个时候，把e^x做一下泰勒展开，其实可以这样考虑，首先把i看作常数，然后会有t个含有e^x的式子，对于每个式子，我们考虑这个式子的第n项，然后把这些系数加起来就是答案。最

展开可得：

那么对于第n项的系数就是：

到这里，这个题就做完了，其实难度很低。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int mod = 1e9 + 7;
const int N = 200010;
ll fac[N];
ll inv[N];
ll qpow(ll a, ll b)
{
  ll res = 1;
  while (b)
  {
    if (b & 1)res = res * a % mod;
    a = a * a % mod;
    b >>= 1;
  }
  return res;
}
void init()
{
  fac[0] = 1;
  for (int i = 1; i < N; i++)
    fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
  inv[N - 1] = qpow(fac[N - 1], mod - 2);
  for (int i = N - 2; i >= 0; i--)
    inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
}
int main()
{
  init();
  int T;
  scanf("%d", &T);
  while (T--)
  {
    ll n, m;
    scanf("%lld%lld", &n, &m);
    int t = m / 2;
    ll ans = 0;
    for (int i = 0; i <= t; i++)
    {
      ans = (ans + fac[t] * inv[i] % mod * inv[t - i] % mod * qpow((m - i * 2), n) % mod) % mod;
    }
    ll inv2 = qpow(qpow(2, t), mod - 2);
    printf("%lld\n", ans * inv2 % mod);
  }
  return 0;
}