第二章 矩阵及其运算
线性方程组和矩阵
线性方程组
三个概念
(1)n元非齐次线性方程组
(2)n元齐次线性方程组
(3)齐次线性方程组的零解、非零解
x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0,称为齐次线性方程组的零解
一组不全为零的数是齐次线性方程组的解,则称为齐次线性方程组的非零解
矩阵的定义
由 m × n 个数 aij 排成的 m 行 n 列的数表称为 m 行 n 列的矩阵,简称 m × n矩阵。记作:
- 这 m × n 个数称为矩阵 A 的元素,简称为元
- 数 aij 位于矩阵 A 的第 i 行第 j 列,称为矩阵 A 的(i, j)元
- 以数 aij 为(i, j)元的矩阵可记为(aij)或(aij)m × n
- m × n 矩阵 A 也记作 Amn。
- 元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵。
- 行数与列数都等于 n 的矩阵称为 n 阶矩阵或 n 阶方阵
- 只有一行的矩阵叫 行矩阵/行向量,只有一列的矩阵叫 列矩阵/列向量
- 同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等
- 一对同型矩阵对应的元素相等,则称 A 、B相等,记为 A = B
- 系数矩阵、未知数矩阵、常数项矩阵、增广矩阵⭐
- 对角矩阵
- 单位矩阵
矩阵的运算
矩阵的加法(减法)
- 要求:两个矩阵必须同型
- 运算规律
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
A + (-A) = 0 => A - B = A + (-B)
其中,-A 为 A 的负矩阵
数与矩阵相乘
- 运算规律
(λμ)A = λ(μA)
(λ + μ)A = λA + μA
λ(A + B) = λA + λB
矩阵相乘⭐
- 口诀
内标同可乘,外标决定型
A(m×n) * B(n×s) => C(m×s)
- 运算规律
- 注解
矩阵的乘法不满足交换律,即一般情形下 AB ≠ BA
AB = O 推不出 A = 0 或 B = 0
A(X - Y) = 0 推不出 X = Y
(A + B)² = A² + B² +AB + BA
矩阵的转置
- 性质
A * AT是 n 阶方阵, AT * A 是一阶方阵(A 为 n 阶方阵,AT 为转置矩阵)
- 对称矩阵:元素以对角线为对称轴对应相等,则 AT = A
方阵的行列式⭐
- 定义
由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式(各元素的位置不变),称为方阵 A 的行列式,记作 |A| - 性质
- 伴随矩阵⭐
行列式 |A| 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的矩阵,记作 A*
逆矩阵⭐
逆矩阵的定义、性质和求法
- 定义
对于 n 阶矩阵 A,如果有一个 n 阶矩阵 B,使 AB = BA = E,则说明矩阵 A 是可逆的,矩阵 B 称为 A 的逆矩阵,简称逆阵,记作A(-1) - 性质
(1)矩阵 A 是可逆的,那么 A 的逆矩阵是惟一的
(2)矩阵 A 可逆,则 |A| ≠ 0 (充分必要条件)
(3)若 |A| ≠ 0,则矩阵 A 可逆,且 A(-1) = (1 / |A|) × A*
(4)若 AB = E (或 BA = E),则 B = A(-1)
拓展:|A| = 0,A 为奇异矩阵,反之为非奇异矩阵
- 运算规律
- 求法——伴随矩阵法求逆矩阵⭐
逆矩阵的初步应用
- 求未知矩阵
注:该例子应该先判断 A、B 是否可逆
- 求矩阵的幂
克拉默法则
- 定义
- 应用:求线性方程组的解