OpenCV | 项目 | 虚拟绘画-CFANZ编程社区

为自己复习时使用

图、树和线性表在数据结构中有显著的区别，主要体现在以下方面：

图（Graph）在数学和计算机科学中，是一种数据结构，它包含一组顶点（Vertex）和一组边（Edge）。这些顶点对应于数学抽象中的节点或点，而边则表示顶点之间的关系。具体来说，图可以定义为两个集合的组合：

顶集（Vertices Set）：这是一个有穷非空集合，通常表示为V，其元素被称为顶点或节点。
边集（Edges Set）：这是一个集合，其元素是顶点对（在无向图中）或有序顶点对（在有向图中），通常表示为E。这些顶点对或有序顶点对被称为边或弧。

图通常表示为G=(V, E)，其中G表示图，V是顶集，E是边集。在图中，边集E可以为空集，这意味着图可能只包含顶点而没有边。

根据边的方向性，图可以分为无向图和有向图。在无向图中，边没有方向，即边(x, y)和边(y, x)是相同的。而在有向图中，边具有方向，即边<x, y>（表示从x指向y的边）和边<y, x>（表示从y指向x的边）是不同的。

一、图的基本定义

在图论中，一个图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为G(V, E)，其中G表示一个图，V表示顶点的集合，E表示顶点之间边的集合。

关于顶点（Vertex或Node）：

顶点可以理解为图中的一个事物或对象。在图论中，顶点用于表示图中的各个元素或节点。在平面几何学中，顶点是指多边形两条边相交的地方，或指角的两条边的公共端点。在立体几何学中，顶点则是指在多面体中三个或更多的面连接的地方。在计算机绘图中，顶点是空间中的一个点，一般由它的坐标表示。

关于边（Edge）：

边是图中连接两个顶点的线段。它表示两个顶点之间的关系或连接。边可以分为有向边和无向边。在有向图中，边的方向是一定的，不能逆序走；在无向图中，边的方向没有限制，可以逆序走。此外，每条边还可以有自己的值或权，用于表示两个顶点之间的某种度量或关系。

关于图的分类：

有向图和无向图：根据边的方向性，图可以分为有向图和无向图。在有向图中，边的方向是一定的，不能逆序走；在无向图中，边的方向没有限制，可以逆序走。
完全图：对于图中的每一个顶点，都与其他的点有边直接相连的图称为完全图。无向完全图是任意两个顶点之间都有边相连的图；有向完全图则是任意两个顶点之间都有两个方向相反的边相连的图。

图的权重通常指的是图中每条边所关联的数值。这个权重可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离、花费的代价、所需的时间、次数等。根据边的权重，图可以分为有权图和无权图。有权图每条边都具有一定的权重，而无权图每条边则没有权重，或者可以理解为权重为1。

在图论中，边（Edge）是连接图中两个顶点（Vertex）的线段或弧线。根据边是否带有数值或度量，边可以分为带权边（Weighted Edge）和无权边（Unweighted Edge 或 Simple Edge）。

在算法和图的分析中，带权边和无权边的处理方式可能会有所不同。例如，在无权图中，寻找两个顶点之间的最短路径通常使用广度优先搜索（BFS）或深度优先搜索（DFS）等算法。而在带权图中，由于边的权重可能不同，因此需要使用更复杂的算法，如迪杰斯特拉算法（Dijkstra's Algorithm）或弗洛伊德-沃沙尔算法（Floyd-Warshall Algorithm）来找到最短路径。

关于图的路径，以下是几个关键的知识点：

路径的定义：图的路径是一个顶点序列w1, w2, w3, ..., wn，使得对于任意的i（其中1 <= i < n），(wi, wi+1)都属于图的边集E。
路径的长度：
环：一个从顶点到它自身的边（v, v）被称为环。环的长度是1（对于无权图）或该边的权值（对于带权图）。
简单路径：一条路径上所有顶点都是互异的（但第一个和最后一个可能相同）。也就是说，简单路径不会重复经过任何顶点（除了起点和终点可能相同）。
深度优先搜索（DFS）与广度优先搜索（BFS）：这两种算法都是用于在图中寻找路径的常用方法。DFS会尽可能深地搜索图的分支，而BFS则会一层一层地遍历图的顶点。
最短路径问题：给定一个带权图，找到从一个顶点到另一个顶点的最短路径是一个常见的问题。对于这个问题，可以使用如Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法等算法来求解。