基本概念
1. 穷举法
穷举法：是猜测与检验算法的一个变种。我们枚举所有可能性，直至得到正确答案或者尝试完所有值。
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#寻找完全立方数的立方根 -
x = int(input('Enter an integer: ')) -
ans = 0 -
while ans**3 < abs(x): -
ans = ans + 1 -
if ans**3 != abs(x): -
print(x, 'is not a perfect cube') -
else: -
if x < 0: -
ans = -ans -
print('Cube root of', x,'is', ans)
那么，对于何种x值，程序能正常结束呢？答案是“所有整数”。 注：
1.表达式ans**3的值从0开始，并随着每次循环逐渐变大；
2.当这个值达到或超过abs(x)时，循环结束；
3.因为abs(x)的值总为正，所以循环结束前进行的迭代次数必然是有限的。编写循环时，应该使用一个合适的递减函数。这个函数具有如下属性：
- 它可以将一组程序变量映射为一个整数；
- 进入循环时，它的值是非负的；
- 当它的值≤0时，循环结束；
- 每次循环它的值都会减小。
2. for循环
for循环中常用到 range()函数，因此先对它进行介绍：
- range函数接受3个整数参数：start、stop和step。生成一个数列：start、start + step、start + 2*step，等等。
- 如果step是正数，最后一个元素就是小于stop的最大整数start + i * step。如果step是负数，最后一个元素就是大于stop的最小整数start + i * step。
- 数列中的数值是以“按需产生”的原则生成的，所以即使range(1000000)这样的表达式也只占用很少内存。
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#寻找完全立方数的立方根 -
x = int(input('Enter an integer: ')) -
for ans in range(0, abs(x)+1): -
if ans**3 >= abs(x): -
break -
if ans**3 != abs(x): -
print(x, 'is not a perfect cube') -
else: -
if x < 0: -
ans = -ans -
print('Cube root of', x,'is', ans)
3. 近似解和二分查找
穷举法是一种查找技术，只在被查找集合中包含答案时才有效
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#使用穷举法求近似平方根 -
x = 25 -
epsilon = 0.01 -
step = epsilon**2 -
numGuesses = 0 -
ans = 0.0 -
while abs(ans**2 - x) >= epsilon and ans <= x: -
ans += step -
numGuesses += 1 -
print('numGuesses =', numGuesses) -
if abs(ans**2 - x) >= epsilon: -
print('Failed on square root of', x) -
else: -
print(ans, 'is close to square root of', x)
二分查找法，可以提升查询效率
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x = 25 -
epsilon = 0.01 -
numGuesses = 0 -
low = 0.0 -
high = max(1.0, x) -
ans = (high + low)/2.0 -
while abs(ans**2 - x) >= epsilon: -
print('low =', low, 'high =', high, 'ans =', ans) -
numGuesses += 1 -
if ans**2 < x: -
low = ans -
else: -
high = ans -
ans = (high + low)/2.0 -
print('numGuesses =', numGuesses) -
print(ans, 'is close to square root of', x)
4. 关于浮点数
很多时候， float类型的数值是实数的一个非常好的 近似。但“很多时候”并不代表所有情况，这个功能失效时会引起不可思议的后果。例如，试着运行以下代码：
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x = 0.0 -
for i in range(10): -
x = x + 0.1 -
if x == 1.0: -
print(x, '= 1.0') -
else: -
print(x, 'is not 1.0') -
# 结果 -
0.9999999999999999 is not 1.0
为什么会出现这样的结果呢？
- 其实这和二进制与十进制表示方式有关（python中二进制表示的0.1并不是真的等于十进制中0.1）。
- 那Python中写作0.1的十进制分数1/10呢？若使用4位有效数字，最好的表示方式是(0011,-101)，等于3/32，也就是0.09375。如果有5位有效的二进制数字，可以将0.1表示成(11001, -1000)，等于25/256，也就是0.09765625。那么，需要多少位有效数字才能使用浮点数准确表示0.1呢？需要无穷位！不存在两个整数sig和exp，使sig × 2-exp = 0.1。所以无论Python（或任何一种语言）使用多少位有效数字表示浮点数，都只能表示0.1的一个近似值。
- 所以将0.1相加10次真的不等于10乘以0.1的值
5. 牛顿－拉弗森法
牛顿－拉弗森法可以用于求单变量多项式的值，那么什么是单变量多项式？
单变量多项式或者是0，或者是一个有限数目的非零单项式的和。每一项都由一个常数（项的系数）乘以变量的非负整数次方（这里为2次方）组成。
牛顿－拉弗森法的原理：
逐次逼近；牛顿证明了一个定理：如果存在一个值guess是多项式p的根的近似值，那么guess -p(guess)/p'(guess)就是一个更好的近似值，其中p'是p的一次导数。
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#利用牛顿.拉弗森法寻找平方根 -
#寻找x，满足x**2-24在epsilon和0之间 -
epsilon = 0.01 -
k = 24.0 -
guess = k/2.0 -
while abs(guess*guess - k) >= epsilon: -
guess = guess - (((guess**2) - k)/(2*guess)) -
print('Square root of', k, 'is about', guess)
编程练习
1.编写一个程序，要求用户输入一个整数，然后输出两个整数root和pwr，满足 0<pwr<6，并且 root**pwr等于用户输入的整数。如果不存在这样一对整数，则输出一条消息进行说明。
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# 解法1 -
r = int(input('input an integer')) -
root = 0 -
i = 0 -
for pwr in range(1, 7): -
result = -1 -
while result < abs(r): -
root += 1 -
result = root**pwr -
if result == abs(r): -
if r < 0: -
root = -root -
print('root:{},pwr:{}'.format(root, pwr)) -
i += 1 -
root = 0 -
print('总共有{}种输出结果'.format(i)) -
# 解法2 -
x=int(input('Enter an integer: ')) -
root=1 -
pwr=1 -
w=root**pwr -
i=0 -
while w<abs(x) or root<=abs(x): -
if pwr<6: -
w=root**pwr -
if w==abs(x) and x<0: -
i+=1 -
print('root','=',-root,'pwr','=',pwr) -
elif w==abs(x): -
i+=1 -
print('root','=',root,'pwr','=',pwr) -
pwr+=1 -
else: -
pwr=1 -
root+=1 -
w=root**pwr -
print('符合条件的整数对共有{}种'.format(i))
2.假设s是包含多个小数的字符串，由逗号隔开，如 s='1.23, 2.4, 3.123'。编写一个程序，输出s中所有数值的和。
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# 解法1 -
s = '1.23, 2.4, 3.123' -
sum = 0.0 -
for i in map(lambda i: float(i), s.split(',')): -
sum += i -
print(sum) -
# 解法2 -
s = '1.23, 2.4, 3.123' -
a=s.split(',') -
t=0 -
for i in a: -
t=t+float(i) -
print(t)
3.如果语句x = 25被替换为x = -25，代码会如何运行？
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程序会进入无限循环 -
# 该程序while循环中，x值始终未变。则导致该循环条件（abs(ans**2 - x) >= epsilon）始终成立，程序进入无限循环中。 -
x = -25 -
epsilon = 0.01 -
numGuesses = 0 -
low = 0.0 -
high = max(1.0, x) -
ans = (high + low)/2.0 -
while abs(ans**2 - x) >= epsilon: # 这一步永远不会停止 -
print('low =', low, 'high =', high, 'ans =', ans) -
numGuesses += 1 -
if ans**2 < x: -
low = ans -
else: -
high = ans -
ans = (high + low)/2.0 -
print('numGuesses =', numGuesses) -
print(ans, 'is close to square root of', x)
4.如何修改图3-4中的代码，才能求出一个数的立方根？这个数既可以是正数，也可以是负数。（提示：修改low保证答案位于待查找区域。）
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x = -30 -
epsilon = 0.01 -
numGuesses = 0 -
x_abs = abs(x) # 关键代码 -
low = 0.0 -
high = max(1.0, x_abs) -
ans = (high + low) / 2.0 -
while abs(ans**3 - x_abs) >= epsilon: -
numGuesses += 1 -
if ans**3 < x_abs: -
low = ans -
else: -
high = ans -
ans = (high + low) / 2.0 -
print('numGuesses =', numGuesses) -
if x < 0: -
print(-ans, 'is close to square root of', x) -
else: -
print(ans, 'is close to square root of', x)
5.二进制数10011等于十进制中的哪个数？
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19 -
# 解法1 进制转换 -
# 解法2 函数求解 -
int('10011',base=2)
6.在牛顿.拉弗森法的实现中添加一些代码，跟踪求平方根所用的迭代次数。在这段代码的基础上编写一个程序，比较牛顿.拉弗森法和二分查找法的效率。
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#利用牛顿.拉弗森法寻找平方根 -
#寻找x，满足x**2-24在epsilon和0之间 -
epsilon = 0.01 -
k = 24.0 -
guess = k/2.0 -
a=0 -
while abs(guess*guess - k) >= epsilon: -
guess = guess - (((guess**2) - k)/(2*guess)) -
a+=1 -
print('Square root of', k, 'is about', guess) -
print('牛顿法迭代次数={}'.format(a)) -
#利用二分查找法寻找平方根 -
#寻找x，满足x**2-24在epsilon和0之间 -
x = 24.0 -
epsilon = 0.01 -
numGuesses = 0 -
low = 0.0 -
high = max(1.0, x) -
ans = (high + low)/2.0 -
b=0 -
while abs(ans**2 - x) >= epsilon: -
numGuesses += 1 -
if ans**2 < x: -
low = ans -
else: -
high = ans -
ans = (high + low)/2.0 -
print(ans, 'is close to square root of', x) -
print('二分法迭代次数 ={}'.format(numGuesses)) -
Square root of 24.0 is about 4.8989887432139305 -
牛顿法迭代次数=4 -
4.8984375 is close to square root of 24.0 -
二分法迭代次数 =9
