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【面试高频系列】从一道经典题分享「二分模板」&「倍增乘法」...


题目描述

这是 LeetCode 上的29. 两数相除,难度为 Medium

给定两个整数,被除数  和除数 。

将两数相除,要求不使用乘法、除法和 mod 运算符。

返回被除数  除以除数  得到的商。

整数除法的结果应当截去()其小数部分。

例如: 以及 。

示例 1:

输入: dividend = 10, divisor = 3
输出: 3
解释: 10/3 = truncate(3.33333..) = truncate(3) = 3

示例 2:

输入: dividend = 7, divisor = -3
输出: -2
解释: 7/-3 = truncate(-2.33333..) = -2

提示:

  • 被除数和除数均为 32 位有符号整数。
  • 除数不为 0。
  • 假设我们的环境只能存储 32 位有符号整数,其数值范围是 [,− 1]。本题中,如果除法结果溢出,则返回− 1。

二分 + 倍增乘法

由于题目限定了我们不能使用乘法、除法和 mod 运算符。

我们可以先实现一个「倍增乘法」,然后利用对于 除以 ,结果 必然落在范围 的规律进行二分:

代码:

class Solution {
public int divide(int a, int b) {
long x = a, y = b;
boolean isNeg = false;
if ((x > 0 && y < 0) || (x < 0 && y > 0)) isNeg = true;
if (x < 0) x = -x;
if (y < 0) y = -y;
long l = 0, r = x;
while (l < r) {
long mid = l + r + 1 >> 1;
if (mul(mid, y) <= x) {
l = mid;
} else {
r = mid - 1;
}
}
long ans = isNeg ? -l : l;
if (ans > Integer.MAX_VALUE || ans < Integer.MIN_VALUE) {
return Integer.MAX_VALUE;
}
return (int)ans;
}
long mul(long a, long k) {
long ans = 0;
while (k > 0) {
if ((k & 1) == 1) ans += a;
k >>= 1;
a += a;
}
return ans;
}
}
  • 时间复杂度:对 采用的是二分策略。复杂度为
  • 空间复杂度:

总结

这道题的解法,主要涉及的模板有两个。

一个是「二分」模板,一个是「快速乘法」模板。都是高频使用的模板。

其中「二分」模板其实有两套,主要是根据 函数为 时,需要调整的是 ​​​l​​​ 指针还是 ​​r​​ 指针来判断。

  • 当调整的是​​​l​​​ 时:计算​​mid​​​ 的方式应该为​​mid = l + r + 1 >> 1​​:
long l = 0, r = 1000009;
while (l < r) {
long mid = l + r + 1 >> 1;
if (check(mid)) {
l = mid;
} else {
r = mid - 1;
}
}
  • 当调整的是​​​r​​​ 时:计算​​mid​​​ 的方式应该为​​mid = l + r >> 1​​:
long l = 0, r = 1000009;
while (l < r) {
long mid = l + r >> 1;
if (check(mid)) {
r = mid;
} else {
l = mid + 1;
}
}

另外一个是「快速乘法」模板,采用了倍增的思想:

long mul(long a, long k) {
long ans = 0;
while (k > 0) {
if ((k & 1) == 1) ans += a;
k >>= 1;
a += a;
}
return ans;
}

关于「二分」模板的说明

  • 为啥修改左边指针 l 的时候要进行 +1 操作?

「模板一」的 +1 操作主要是为了避免发生「死循环」,因为 >> 和 直接使用 / 一样,都属于「下取整」操作。

考虑 l = 0, r = 1 的简单情况,如果不 +1 的话,l + r >> 1 等于 0 + 1 / 2,l 仍然是 0,陷入死循环。

  • 为啥模板不考虑 int 溢出问题?

事实上,二分模板确实有考虑 int 溢出的写法,评论区我也有提到,但是一般我们不会去用那样的模板,因为太难记了。

而且如果数据范围确实存在 int 溢出的情况,正确的做法是使用 long 数据结构,因为你无法确保只会在「二分」逻辑中进行下标运算,这里改用模板,在别的地方也可能会溢出。

使用 long 的说明

我知道肯定会有小伙伴提醒三叶:环境只能存储 32 位有符号整数,这一提示。

我认为这个提示有两层理解含义:

  1. 实现过程中完全不能使用 long
  2. 实现过程不限制使用 long,只是解释为什么某些情况下需要我们返回− 1

在本题,我是按照第二种解释方式进行理解。

当然也可以按照第一种解释方式进行理解,在 ​​7. 整数反转(简单)​​ 中,我就提供了实现过程中不使用 long 的「完美解决」方案。可以看看 ~

不使用 long 其实十分简单,只需要将越界判断放到循环里即可,建议你动手试试 ~

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 ​​No.29​​ 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先将所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:​​github.com/SharingSour…​​

在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

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