0
点赞
收藏
分享

微信扫一扫

1012. 至少有 1 位重复的数字 : 通用数位 DP 求解方案


题目描述

这是 LeetCode 上的 ​​1012. 至少有 1 位重复的数字​​ ,难度为 困难

Tag : 「动态规划」、「数位 DP」、「容斥原理」

给定正整数 ,返回在  范围内具有 至少 1 位 重复数字的正整数的个数。

示例 1:

输入:n = 20

输出:1

解释:具有至少 1 位重复数字的正数(<= 20)只有 11 。

示例 2:

输入:n = 100

输出:10

解释:具有至少 1 位重复数字的正数(<= 100)有 11,22,33,44,55,66,77,88,99 和 100 。

示例 3:

输入:n = 1000

输出:262

提示:

数位 DP

首先 共有 个数,而求解 范围内有多少个「至少有 位重复数字」的数的个数,等价于「总数 」减去「没有重复数的数的个数」。

于是问题转换为:如何求解「没有重复数」的数的个数,同时为了更具一般性,我们将求解 范围内「没有重复数」的数的个数,修改为求解 范围内「没有重复数」的数的个数


即将问题转换为 ​​(题解) 357. 统计各位数字都不同的数字个数​​ 中的进阶部分。


假定我们存在函数 ​​int dp(int x)​​​ 函数,能够返回区间 内合法数的个数,那么配合「容斥原理」我们便能够回答任意区间合法数的查询:

然后考虑如何实现 ​​int dp(int x)​​​ 函数,我们将组成 的合法数分成三类:

  • 位数和相同,且最高位比最高位要小的,这部分统计为​​​res1​​;
  • 位数和相同,且最高位与最高位相同的,这部分统计为​​​res2​​;
  • 位数比少,这部分统计为​​​res3​​。

其中 ​​res1​​​ 和 ​​res3​​​ 求解相对简单,重点落在如何求解 ​​res2​​ 上。

进行「从高到低」的处理(假定 数位为 ),对于第 位而言( 不为最高位),假设在 中第 位为 ,那么为了满足「大小限制」关系,我们只能在 范围内取数,同时为了满足「相同数字只能使用一次」的限制,我们需要使用一个 int 变量 来记录使用情况(用 的低十位来代指数字 是否被使用),统计 范围内同时符合两个限制条件的数的个数,记为

当第 位有 种合法选择之后,后面的位数可以在满足「相同数字只能使用一次」的限制条件下任意选择(因为大小关系已经由第 位保证),为了快速知道剩下的 位有多少种方案,我们还需要预处理乘积数组,其中 代表 的乘积之和。


上述讲解若是觉得抽象,我们可以举个 ????,假设 ,我们该如何求解 ​​​res2​​​:由于限定了 ​​res2​​​ 为「位数和 相同,且最高位与 最高位相同的」的合法数个数,因此最高位没有选,只能是 ,然后考虑处理次高位,次高位在 中为 ,为了满足大小关系,我们只能在 范围内做限制,同时由于 已用过,因此次高位实际只有 ,共 种选择,当确定次高位后,后面的位数任意取,由于前面已经填充了 位(即消耗了 个不同数字),因此从后面的位数开始应该是 开始往后自减累乘到 为止,即此时方案数为 (当前位不是最低位)或者 (当前位是最低位)。按照此逻辑循环处理所有位数即可,直到遇到重复数值或正常结束。


需要说明的是,上述的举例部分只是为方便大家理解过程,看懂了举例部分不代表理解了数位 DP 做法成立的内在条件,阅读的重点还是要放在前面加粗字体部分,只会使用样例理解算法永远不是科学的做法。

其他细节:乘积数组的预处理与样例无关,我们可以使用 ​​static​​​ 进行打表优化,同时可以将 ​​res1​​​ 和 ​​res2​​ 两种情况进行合并。

代码:

class Solution {
// f[l][r] 代表 i * (i + 1) * ... * (j - 1) * j
static int[][] f = new int[10][10];
static {
for (int i = 1; i < 10; i++) {
for (int j = i; j < 10; j++) {
int cur = 1;
for (int k = i; k <= j; k++) cur *= k;
f[i][j] = cur;
}
}
}
int dp(int x) {
int t = x;
List<Integer> nums = new ArrayList<>();
while (t != 0) {
nums.add(t % 10);
t /= 10;
}
int n = nums.size();
if (n <= 1) return x + 1; // [0, 9]
// 位数和 x 相同(res1 + res2)
int ans = 0;
for (int i = n - 1, p = 1, s = 0; i >= 0; i--, p++) {
int cur = nums.get(i), cnt = 0;
for (int j = cur - 1; j >= 0; j--) {
if (i == n - 1 && j == 0) continue;
if (((s >> j) & 1) == 0) cnt++;
}
int a = 10 - p, b = a - (n - p) + 1;
ans += b <= a ? cnt * f[b][a] : cnt;
if (((s >> cur) & 1) == 1) break;
s |= (1 << cur);
if (i == 0) ans++;
}
// 位数比 x 少(res3)
ans += 10;
for (int i = 2, last = 9; i < n; i++) {
int cur = last * (10 - i + 1);
ans += cur; last = cur;
}
return ans;
}
public int numDupDigitsAtMostN(int n) {
return (n + 1) - dp(n);
}
}
  • 时间复杂度:
  • 空间复杂度:

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 ​​No.1012​​ 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:​​github.com/SharingSour…​​ 。

在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。

举报

相关推荐

0 条评论